Ví dụ · Tích của vectơ với một số · Toán 10

Ví dụ 1 (trọng tâm)

Tam giác $ABC$ có trọng tâm $G$ . Biểu diễn $\overrightarrow{AG}$ và $\overrightarrow{BG}$ theo $\vec u = \overrightarrow{AB}$ và $\vec v = \overrightarrow{AC}$ .

Giải. Theo mục 2, $\overrightarrow{AG} = \dfrac13(\vec u + \vec v)$ . Chèn $A$ :

\overrightarrow{BG} = \overrightarrow{BA} + \overrightarrow{AG} = -\vec u + \frac13\vec u + \frac13\vec v = -\frac23\vec u + \frac13\vec v.

Ví dụ 2 (phân tích)

Tam giác $ABC$ , điểm $D$ trên cạnh $BC$ sao cho $BD = 3DC$ . Phân tích $\overrightarrow{AD}$ theo $\overrightarrow{AB}$ , $\overrightarrow{AC}$ .

Giải. $BD = \dfrac34 BC$ và $\overrightarrow{BD}$ cùng hướng $\overrightarrow{BC}$ , nên $\overrightarrow{BD} = \dfrac34\overrightarrow{BC}$ . Do đó

\overrightarrow{AD} = \overrightarrow{AB} + \frac34\left(\overrightarrow{AC} - \overrightarrow{AB}\right) = \frac14\overrightarrow{AB} + \frac34\overrightarrow{AC}.

Kiểm tra: hai hệ số có tổng $1$ , đúng với $D$ nằm trên $BC$ ; hệ số của $\overrightarrow{AC}$ lớn hơn vì $D$ gần $C$ hơn.

Ví dụ 3 (thẳng hàng)

Cho tam giác $ABC$ , đặt $\vec u = \overrightarrow{AB}$ , $\vec v = \overrightarrow{AC}$ . Các điểm $M$ , $N$ , $P$ thoả $\overrightarrow{AM} = \dfrac12\vec u$ , $\overrightarrow{AN} = \dfrac13\vec v$ , $\overrightarrow{AP} = 2\vec u - \vec v$ . Chứng minh $M$ , $N$ , $P$ thẳng hàng.

Giải.

\overrightarrow{MN} = \overrightarrow{AN} - \overrightarrow{AM} = -\frac12\vec u + \frac13\vec v, \qquad \overrightarrow{MP} = \overrightarrow{AP} - \overrightarrow{AM} = \frac32\vec u - \vec v.

Ta thấy $\overrightarrow{MP} = -3\overrightarrow{MN}$ , nên $M$ , $N$ , $P$ thẳng hàng (và $M$ nằm giữa $N$ , $P$ ).

Ví dụ 4 (tìm tỉ số)

Tam giác $ABC$ , điểm $M$ trên cạnh $AB$ với $AM = 2MB$ , $K$ là trung điểm $CM$ . Đường thẳng $AK$ cắt $BC$ tại $D$ . Tính tỉ số $\dfrac{BD}{BC}$ .

AM = 2MB, K là trung điểm CM; đường thẳng AK cắt BC tại D.

Giải. Đặt $\vec u = \overrightarrow{AB}$ , $\vec v = \overrightarrow{AC}$ . Ta có $\overrightarrow{AM} = \dfrac23\vec u$ và

\overrightarrow{AK} = \frac12\left(\overrightarrow{AM} + \overrightarrow{AC}\right) = \frac13\vec u + \frac12\vec v.

$D$ nằm trên đường thẳng $AK$ nên $\overrightarrow{AD} = t\overrightarrow{AK} = \dfrac t3\vec u + \dfrac t2\vec v$ . $D$ nằm trên $BC$ nên tổng hai hệ số bằng $1$ : $\dfrac t3 + \dfrac t2 = 1$ , suy ra $t = \dfrac65$ . Khi đó

\overrightarrow{AD} = \frac25\vec u + \frac35\vec v,

so với dạng $(1 - s)\overrightarrow{AB} + s\overrightarrow{AC}$ ta được $s = \dfrac35$ , tức $\overrightarrow{BD} = \dfrac35\overrightarrow{BC}$ . Vậy $\dfrac{BD}{BC} = \dfrac35$ . (Thêm vào đó, $AK = \dfrac56 AD$ .)

Bước 1 / 6

Đặt

u = A B, v = A C

. Vì

A M = 2 M B

nên

A M = \frac{2}{3} u

.

Ví dụ 5 (cùng trọng tâm)

Cho tam giác $ABC$ . Lấy $A'$ trên $BC$ , $B'$ trên $CA$ , $C'$ trên $AB$ sao cho $\overrightarrow{BA'} = \dfrac14\overrightarrow{BC}$ , $\overrightarrow{CB'} = \dfrac14\overrightarrow{CA}$ , $\overrightarrow{AC'} = \dfrac14\overrightarrow{AB}$ . Chứng minh hai tam giác $ABC$ và $A'B'C'$ có cùng trọng tâm.

Giải. Chèn điểm theo vòng $A \to B \to C \to A$ :

\overrightarrow{AA'} + \overrightarrow{BB'} + \overrightarrow{CC'} = \left(\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{BA'}\right) + \left(\overrightarrow{BC} + \overrightarrow{CB'}\right) + \left(\overrightarrow{CA} + \overrightarrow{AC'}\right).

Nhóm lại: $\left(\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{BC} + \overrightarrow{CA}\right) + \dfrac14\left(\overrightarrow{BC} + \overrightarrow{CA} + \overrightarrow{AB}\right) = \vec 0 + \dfrac14\cdot\vec 0 = \vec 0$ . Theo tiêu chuẩn, hai tam giác cùng trọng tâm.

Tích của vectơ với một số

01Ví dụ minh hoạ

Ví dụ 1 (trọng tâm)

Ví dụ 2 (phân tích)

Ví dụ 3 (thẳng hàng)

Ví dụ 4 (tìm tỉ số)

Ví dụ 5 (cùng trọng tâm)