Phương trình bậc ba, trùng phương và phương trình tích

Hai cách tạo ra tích: đặt nhân tử chung (như $x^3 - 4x = x(x - 2)(x + 2)$) và nhóm hạng tử (như $x^3 + x^2 - 2x - 2 = x^2(x + 1) - 2(x + 1) = (x + 1)(x^2 - 2)$).

Lí do (với bậc ba). Thay $x = p/q$ vào $a_3x^3 + a_2x^2 + a_1x + a_0 = 0$ rồi nhân $q^3$: $a_3p^3 + a_2p^2q + a_1pq^2 + a_0q^3 = 0$. Suy ra $a_3p^3$ chia hết cho $q$; vì $p$ và $q$ nguyên tố cùng nhau nên $q \mid a_3$. Tương tự, $a_0q^3$ chia hết cho $p$ nên $p \mid a_0$.

Hệ quả hay dùng: nếu $a_n = 1$ thì nghiệm hữu tỉ (nếu có) phải nguyên và là ước của $a_0$. Ví dụ $x^3 - 2x^2 - 5x + 6$: ứng viên $\pm1, \pm2, \pm3, \pm6$. Với $2x^3 - 3x^2 - 3x + 2$: $p \in \{\pm1, \pm2\}$, $q \in \{1, 2\}$, ứng viên $\pm1, \pm2, \pm\dfrac12$.

Nếu $x_0$ là nghiệm của $P$ thì $P(x) = (x - x_0)Q(x)$, với $Q$ có bậc thấp hơn một. Các hệ số của $Q$ tính nhanh: hạ hệ số đầu xuống; mỗi hệ số tiếp theo của hàng dưới bằng hệ số hàng trên cộng $x_0$ nhân hệ số vừa tính. Số cuối của hàng dưới là số dư, phải bằng $0$.

Ví dụ chia $x^3 - 2x^2 - 5x + 6$ cho $x - 1$:

Hàng dưới $1,\ -1,\ -6$ là hệ số của $Q(x) = x^2 - x - 6$, số dư $0$ xác nhận $x = 1$ là nghiệm.

Đồ thị của một đa thức bậc ba cắt trục $Ox$ tại $1$, $2$ hoặc $3$ điểm (nghiệm kép tính là tiếp xúc). Sau khi tìm được một nghiệm và hạ bậc, tam thức $Q$ cho biết hai nghiệm còn lại: $\Delta > 0$ thì hai nghiệm khác nhau (tổng cộng ba), $\Delta = 0$ thì nghiệm kép, $\Delta < 0$ thì không có thêm nghiệm thực (còn đúng một nghiệm).

Vì thế số nghiệm $x$ có thể là $0, 1, 2, 3$ hoặc $4$. Hình ảnh: parabol theo $t$ chỉ lấy phần $t \ge 0$; mỗi giá trị $t > 0$ "mở" thành hai giá trị đối nhau của $x$.

Nếu cùng một biểu thức $h(x)$ lặp lại, đặt $t = h(x)$ để được phương trình bậc hai theo $t$, rồi giải $h(x) = t_i$ cho từng $t_i$. Ví dụ: $(x^2 + x)^2 - 8(x^2 + x) + 12 = 0$ đặt $t = x^2 + x$. Điều kiện của $t$ phụ thuộc vào $h$ (ở trùng phương là $t \ge 0$; ở ví dụ vừa nêu thì $t$ chạy trên $\left[-\dfrac14; +\infty\right)$ vì $x^2 + x = \left(x + \dfrac12\right)^2 - \dfrac14$). Phần này được mở rộng ở bài 7.

• Phương trình tích: $A\cdot B = 0 \iff A = 0$ hoặc $B = 0$.
• Nghiệm hữu tỉ $\dfrac{p}{q}$ (tối giản) của đa thức hệ số nguyên có $p \mid a_0$, $q \mid a_n$.
• Có nghiệm $x_0$: chia cho $(x - x_0)$ bằng Hoóc-ne, giải tam thức thương.
• Trùng phương: $t = x^2 \ge 0$; $t > 0 \to \pm\sqrt{t}$, $t = 0 \to 0$, $t < 0$ bỏ.
• Ẩn phụ là biểu thức lặp: giải theo $t$ rồi quay lại $x$.