Đặt ẩn phụ trong phương trình chứa căn

Bốn bước bắt buộc: (1) chọn $t$, (2) tìm điều kiện của $t$, (3) giải theo $t$ và loại $t$ không hợp lệ, (4) quay lại $x$.

Điều kiện của $t$ không phải "tuỳ ý": nó là tập các giá trị mà $h(x)$ có thể nhận khi $x$ chạy trên tập xác định. Một số trường hợp hay gặp:

• $t = \sqrt{A}$: ít nhất $t \ge 0$. Nếu $A$ còn bị chặn dưới thì $t$ còn bị chặn mạnh hơn. Ví dụ $A = x^2 + 11 \ge 11$ nên $t = \sqrt{x^2 + 11} \ge \sqrt{11}$.
• $t = \sqrt{A}$ với $A$ là tam thức: hoàn thành bình phương. $x^2 - 4x + 5 = (x - 2)^2 + 1 \ge 1$ nên $t = \sqrt{x^2 - 4x + 5} \ge 1$.
• $t = x^2 + bx$: $t \ge -\dfrac{b^2}{4}$ (giá trị nhỏ nhất của parabol, tại đỉnh).
• $t = \sqrt{A} + \sqrt{B}$ (khi $A + B$ là hằng): dùng bình phương để biết khoảng chạy của $t$.

Nghiệm $t$ nằm ngoài miền này bị loại dù là nghiệm của phương trình theo $t$.

Số nghiệm của $h(x) = t_0$ là số giao điểm của đồ thị $y = h(x)$ với đường ngang $y = t_0$.

• $t = \sqrt{x^2 + 11}$: đồ thị có dạng chữ V trơn đáy ở $y = \sqrt{11}$. $t_0 > \sqrt{11}$ cho hai nghiệm $x = \pm\sqrt{t_0^2 - 11}$; $t_0 = \sqrt{11}$ cho một nghiệm $x = 0$; $t_0 < \sqrt{11}$ không có nghiệm.
• Với đỉnh (cực tiểu) của $h$: đúng một nghiệm tại đỉnh, hai nghiệm phía trên đỉnh, không nghiệm phía dưới.

• Đặt $t = h(x)$: chọn, tìm điều kiện (miền giá trị), giải theo $t$, quay về $x$.
• Miền của $t = \sqrt{\text{tam thức}}$ tìm bằng hoàn thành bình phương.
• $t$ lớn hơn giá trị nhỏ nhất của $h$ cho hai $x$; bằng giá trị nhỏ nhất cho một $x$; nhỏ hơn cho không $x$.
• Với tổng hai căn và tích hai căn, đặt $t$ là tổng và dùng $t^2$.