Phương trình chứa trị tuyệt đối

Khoảng cách trên trục số

Mục tiêu

Giải được $\lvert A \rvert = \lvert B \rvert$ , $\lvert A \rvert = B$ với $A$ , $B$ là biểu thức bậc nhất hoặc bậc hai.
Giải phương trình có nhiều dấu trị tuyệt đối bằng cách chia khoảng và bảng xét dấu; đưa $x^2$ và $\lvert x \rvert$ về ẩn phụ $t = \lvert x \rvert$ .
Hiểu bằng hình: $\lvert A \rvert = B$ là giao của đồ thị "gấp lên" và đường $y = B$ ; $\lvert x - a \rvert$ là khoảng cách trên trục số.

Khởi động

Phương trình $\lvert x - 3 \rvert = 2$ có hai nghiệm $x = 1$ và $x = 5$ : đó là hai điểm cách điểm $3$ đúng $2$ đơn vị. Còn $\lvert x - 3 \rvert = -2$ thì không điểm nào cả, vì khoảng cách không âm. Phương trình $\lvert x - 3 \rvert = 2x - 9$ thì sao? Vế phải đổi dấu theo $x$ , nên ta cần cẩn thận hơn. Bài này đưa cái nhìn khoảng cách và ba quy tắc đơn giản để xử lí mọi dạng quen thuộc.

(Bất phương trình chứa trị tuyệt đối đã học ở bài 5 chương dấu tam thức; ở đây là phương trình.)

01Kiến thức cần nhớ

1. Trị tuyệt đối

$\lvert A \rvert = A$ khi $A \ge 0$ và $\lvert A \rvert = -A$ khi $A < 0$ . Hệ quả: $\lvert A \rvert \ge 0$ , $\lvert A \rvert^2 = A^2$ , và $\lvert x - a \rvert$ là khoảng cách giữa hai điểm $x$ và $a$ trên trục số.

2. Ba quy tắc

Quy tắc thứ ba là chỗ dễ sai nhất: phải có $B \ge 0$ vì $\lvert A \rvert \ge 0$ . Nghiệm của $A = -B$ hoặc $A = B$ không thoả $B \ge 0$ là nghiệm ngoại lai, giống như trong phương trình chứa căn.

3. Hình dung bằng đồ thị

Đồ thị của $y = \lvert f(x) \rvert$ có được từ đồ thị $y = f(x)$ bằng cách giữ nguyên phần nằm trên hoặc chạm trục $Ox$ và lật phần nằm dưới trục lên trên. Nghiệm của $\lvert f(x) \rvert = g(x)$ là hoành độ các giao điểm của đồ thị lật này với đường $y = g(x)$ .

Phần parabol y = x² − x − 2 nằm dưới trục Ox (nét đứt) được lật lên thành vòm. Đường y = x + 1 cắt đồ thị lật tại ba điểm, hoành độ −1, 1, 3.

Tương tácGấp đồ thị

∣ x^{2} - x - 2 ∣ = x + 1

A = B : x^{2} - 2 x - 3 = 0

x = −1; 3

A = - B : x^{2} - 1 = 0

x = −1; 1

Giữ nghiệm c o ˊ B \geq 0 : S = {- 1; 1; 3}

Bật/tắt 'Lật phần dưới trục' để thấy |f| lấy từ f. Kéo hai chấm cyan để đổi đường g: chấm cyan là nghiệm của A = B, chấm tím là nghiệm của A = −B; chấm rỗng cam có dấu nhân là nghiệm có g < 0, bị loại.

4. Nhiều dấu trị tuyệt đối: chia khoảng

Khi phương trình có hai hay nhiều biểu thức trong dấu trị tuyệt đối, ta tìm các điểm làm mỗi biểu thức bằng $0$ , chia trục số thành các khoảng, và trên mỗi khoảng mỗi trị tuyệt đối có một dấu cố định nên phá được. Với mỗi khoảng:

phá trị tuyệt đối theo dấu trên khoảng đó;
giải phương trình nhận được;
chỉ giữ nghiệm thuộc khoảng đó;
cuối cùng lấy hợp các nghiệm.

Cách hiểu hình học cho dạng $\lvert x - a \rvert + \lvert x - b \rvert = c$ (với $a < b$ ): đó là "tổng khoảng cách từ $x$ tới $a$ và $b$ ". Khi $x$ nằm trong đoạn $[a; b]$ tổng này là hằng $b - a$ . Do đó nếu $c < b - a$ thì vô nghiệm, $c = b - a$ thì mọi $x \in [a; b]$ là nghiệm, $c > b - a$ thì có đúng hai nghiệm, đối xứng qua trung điểm của $a$ và $b$ và mỗi nghiệm cách đầu mút gần nó đúng $\dfrac{c - (b - a)}{2}$ .

Tương tácKhoảng cách trên trục số

∣ x - a ∣ + ∣ x - b ∣ = 1 + 4 = 5

∣ x + 2∣ + ∣ x - 1∣ = 5

c > b − a: đúng hai nghiệm, đối xứng qua trung điểm của a và b.

x = - 3 hoặc x = 2

a −2b 1c 5x −3

Kéo x trên trục số: |x − a| + |x − b| không nhỏ hơn b − a, và bằng đúng b − a khi x ở giữa a và b. Kéo đường ngang c (hoặc thanh trượt): dưới đáy vô nghiệm, đúng đáy thì cả đoạn, trên đáy thì hai nghiệm cách đều.

5. Ẩn phụ $t = \lvert x \rvert$

Vì $x^2 = \lvert x \rvert^2$ , phương trình chỉ chứa $x^2$ và $\lvert x \rvert$ chuyển được sang phương trình bậc hai theo $t = \lvert x \rvert$ , với điều kiện $t \ge 0$ . Mỗi $t > 0$ cho hai giá trị $x = \pm t$ ; $t = 0$ cho $x = 0$ .

02Tóm tắt

$\lvert A \rvert = c$ : $c > 0$ thì $A = \pm c$ ; $c = 0$ thì $A = 0$ ; $c < 0$ vô nghiệm.
$\lvert A \rvert = \lvert B \rvert \iff A = \pm B \iff (A - B)(A + B) = 0$ .
$\lvert A \rvert = B \iff B \ge 0$ và $A = \pm B$ .
Nhiều trị tuyệt đối: chia khoảng, giữ nghiệm thuộc khoảng, lấy hợp; $\lvert x - a \rvert$ là khoảng cách.
$x^2$ và $\lvert x \rvert$ : $t = \lvert x \rvert \ge 0$ .

Tiếp theoPhương pháp →