Bất phương trình bậc hai chứa trị tuyệt đối

$\lvert A \rvert = A$ khi $A \ge 0$ và $\lvert A \rvert = -A$ khi $A < 0$. Về hình học, $\lvert A \rvert$ là khoảng cách từ điểm $A$ đến điểm $0$ trên trục số. Hệ quả: $\lvert A \rvert \ge 0$, $\lvert A \rvert^2 = A^2$.

Nhớ qua hình ảnh: $\lvert A \rvert < c$ nghĩa là $A$ gần $0$ (trong đoạn $(-c; c)$), $\lvert A \rvert > c$ nghĩa là $A$ xa $0$ (ngoài đoạn).

Khi vế phải là biểu thức $B(x)$ (không phải hằng), có hai cách:

• So sánh hai trị tuyệt đối: vì hai vế đều không âm, $\lvert A \rvert < \lvert B \rvert \iff A^2 < B^2 \iff (A - B)(A + B) < 0$. Sau khi bình phương, $A^2 - B^2$ thường phân tích được thành tích hai nhân tử, rồi xét dấu theo bài 4.
• Chia trường hợp theo dấu của biểu thức trong trị tuyệt đối: xét $A \ge 0$ (phá thành $A$) và $A < 0$ (phá thành $-A$), giải từng trường hợp, rồi lấy hợp hai tập nghiệm, mỗi tập nhớ kèm điều kiện của trường hợp.

• $\lvert A \rvert < c \iff -c < A < c$ (giao); $\lvert A \rvert > c \iff A < -c$ hoặc $A > c$ (hợp), với $c > 0$.
• $\lvert A \rvert < \lvert B \rvert \iff A^2 < B^2 \iff (A - B)(A + B) < 0$.
• Vế phải là biểu thức: cần $B \ge 0$ rồi $-B \le A \le B$, hoặc chia trường hợp theo dấu của $A$.
• Luôn kiểm tra bằng vài giá trị thử.