Tích của vectơ với một số

01Kiến thức cần nhớ

1. Định nghĩa

Tương tácCo giãn vectơ

k = 2

∣ k a ∣ = ∣ 2 ∣ \cdot 2 = 4

k a c u ˋ ng h ư ớng với a

Kéo thanh trượt k: độ dài nhân |k|, chiều đổi khi k âm.

Tính chất (với mọi số $h$ , $k$ và vectơ $\vec a$ , $\vec b$ ):

k(\vec a + \vec b) = k\vec a + k\vec b, \qquad (h + k)\vec a = h\vec a + k\vec a, \qquad h(k\vec a) = (hk)\vec a, \qquad 1\cdot\vec a = \vec a,\ (-1)\vec a = -\vec a.

Nhờ đó, biểu thức vectơ được rút gọn giống như biểu thức đại số: nhóm, đặt nhân tử chung, chuyển vế đổi dấu.

2. Trung điểm và trọng tâm, dạng "điểm tuỳ ý"

Chứng minh: chèn $I$ vào hai vectơ, $\overrightarrow{MA} + \overrightarrow{MB} = 2\overrightarrow{MI} + (\overrightarrow{IA} + \overrightarrow{IB}) = 2\overrightarrow{MI}$ . Tương tự với $G$ .

Chọn $M \equiv A$ , ta được hai hệ thức rất hay dùng: nếu $M$ là trung điểm $BC$ và $G$ là trọng tâm thì

\overrightarrow{AM} = \frac12\left(\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AC}\right), \qquad \overrightarrow{AG} = \frac13\left(\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AC}\right).

Tương tácVới mọi điểm M

M A + M B + M C = (0; 0)

3 M G = (0; 0)

\frac{∣ M A + M B + M C ∣}{M G} = 3

○ M trùng G: tổng bằng vectơ-không

Kéo M khắp mặt phẳng, rồi kéo cả A, B, C: tỉ số |MA+MB+MC| / MG luôn bằng 3, và tổng bằng 0 đúng khi M trùng G.

3. Cùng phương và thẳng hàng

4. Phân tích theo hai vectơ không cùng phương

Tính duy nhất là chìa khoá: nếu $h\vec a + k\vec b = h'\vec a + k'\vec b$ thì $h = h'$ và $k = k'$ . Đây là cách "so sánh hệ số" để lập phương trình.

Điểm trên đoạn thẳng. Nếu $D$ nằm trên đường thẳng $BC$ với $\overrightarrow{BD} = t\overrightarrow{BC}$ thì

\overrightarrow{AD} = (1 - t)\overrightarrow{AB} + t\overrightarrow{AC}.

Ngược lại, $\overrightarrow{AD} = x\overrightarrow{AB} + y\overrightarrow{AC}$ với $x + y = 1$ thì $D$ nằm trên đường thẳng $BC$ .

Tương tácPhân tích theo hai vectơ

x = h a + k b

h = 1, 5

k = 1, 5

Mỗi điểm X trên mặt phẳng cho đúng một cặp (h; k).

Kéo X khắp mặt phẳng: luôn tìm được một cặp (h; k), và chỉ một.

Tương tácĐiểm D trên đường thẳng BC

A D = 0, 6 A B + 0, 4 A C

0, 6 + 0, 4 = 1

● D nằm trên đường thẳng BC: trong đoạn BC

t = 0,4

Kéo thanh trượt t qua 0 và 1, rồi ra ngoài đoạn: hai hệ số luôn có tổng bằng 1, và một hệ số âm khi D ra ngoài đoạn BC.

02Tóm tắt

$k\vec a$ : cùng hướng nếu $k > 0$ , ngược hướng nếu $k < 0$ , độ dài $\lvert k\rvert\,\lvert\vec a\rvert$ .
$\overrightarrow{MA} + \overrightarrow{MB} = 2\overrightarrow{MI}$ ; $\overrightarrow{MA} + \overrightarrow{MB} + \overrightarrow{MC} = 3\overrightarrow{MG}$ .
Thẳng hàng $\iff \overrightarrow{AB} = k\overrightarrow{AC}$ .
Phân tích theo hai vectơ không cùng phương là duy nhất, nên được so sánh hệ số.
$D \in BC$ , $\overrightarrow{BD} = t\overrightarrow{BC}$ $\Rightarrow$ $\overrightarrow{AD} = (1-t)\overrightarrow{AB} + t\overrightarrow{AC}$ .
Cùng trọng tâm $\iff \overrightarrow{AA'} + \overrightarrow{BB'} + \overrightarrow{CC'} = \vec 0$ .

Tiếp theoPhương pháp →

Mục tiêu

Khởi động