Tập xác định và tập giá trị

Số nào được vào, số nào ra

Mục tiêu

Tìm được tập xác định của hàm số cho bằng công thức (phân thức, căn thức, giá trị tuyệt đối, tổng của các biểu thức này).
Viết đúng đáp án bằng kí hiệu khoảng, đoạn, nửa khoảng, hiệu của các tập.
Tìm tham số để tập xác định chứa một khoảng, hoặc bằng một tập cho trước.
Tìm được tập giá trị của những hàm đơn giản và đọc tập giá trị từ đồ thị.

Khởi động

Máy tính bỏ túi báo lỗi khi em bấm $1 \div 0$ hay $\sqrt{-4}$ . Hai lỗi ấy cho ta hai quy tắc cứng khi viết một hàm số bằng công thức:

không được chia cho $0$ ;
không được lấy căn bậc hai của số âm.

Hàm số $y = \dfrac{1}{x - 3}$ vì thế "không dùng được" tại $x = 3$ ; hàm số $y = \sqrt{x - 3}$ chỉ dùng được khi $x \ge 3$ . Tập các số $x$ mà em được phép đưa vào "máy hàm số" chính là tập xác định. Còn nếu em đưa hết mọi $x$ được phép vào máy thì tất cả những số có thể thò ra tạo thành tập giá trị.

Máy y = √(x − 3): số x < 3 bị chặn ở cửa (không có giá trị), số x ≥ 3 đi qua và cho ra căn bậc hai không âm.

01Kiến thức cần nhớ

1. Tập xác định của hàm số cho bằng công thức

Nhắc lại quy ước: tập xác định $D$ là tập mọi $x \in \mathbb{R}$ làm cho biểu thức có nghĩa. Ba loại "cản trở" thường gặp:

Dạng biểu thức	Điều kiện để có nghĩa
$\dfrac{A(x)}{B(x)}$	$B(x) \ne 0$
$\sqrt{A(x)}$	$A(x) \ge 0$
$\dfrac{1}{\sqrt{A(x)}}$	$A(x) > 0$ (vừa phải có căn, vừa phải khác $0$ ở mẫu)

Đa thức (như $x^3 - 2x + 5$ ) có nghĩa với mọi $x$ , nên $D = \mathbb{R}$ . Hàm có nhiều thành phần cộng, nhân hay chia nhau thì $D$ là giao của các điều kiện: cả hai điều kiện cùng phải đúng.

Tương tácGiao các điều kiện

y = 3 - x + \frac{1}{x + 2}

3 - x \geq 0 \Rightarrow x \leq 3

x = 0: thoả

x + 2 > 0 \Rightarrow x > - 2

x = 0: thoả

D = (- 2; 3]

x = 0 thuộc

Số điều kiện đã xét 2/2x kiểm tra

Chọn một hàm, rồi kéo thanh “số điều kiện đã xét” từ 0 đến hết: mỗi điều kiện thêm một lớp, lớp dưới cùng là giao. Kéo điểm x để thử một số cụ thể. Chấm rỗng là đầu mút bị bỏ.

2. Kí hiệu khoảng, đoạn, nửa khoảng

Tập	Kí hiệu	Ý nghĩa
$a \le x \le b$	$[a; b]$	đoạn, lấy cả hai đầu mút
$a < x < b$	$(a; b)$	khoảng, bỏ cả hai đầu mút
$a \le x < b$	$[a; b)$	nửa khoảng, lấy $a$ , bỏ $b$
$x \ge a$	$[a; +\infty)$	nửa khoảng vô hạn
$x < b$	$(-\infty; b)$	luôn dùng ngoặc tròn với $\pm\infty$
$x \ne c$	$\mathbb{R} \setminus \{c\}$	bỏ một điểm

Với hai tập, giao $A \cap B$ gồm các phần tử thuộc cả hai, hợp $A \cup B$ gồm các phần tử thuộc ít nhất một tập, hiệu $A \setminus B$ gồm các phần tử thuộc $A$ mà không thuộc $B$ . (Xem lại chương Mệnh đề và tập hợp.)

3. Tập giá trị

Tập giá trị $T$ của $y = f(x)$ trên $D$ là $T = \{f(x) \mid x \in D\}$ . Một số $m$ thuộc $T$ khi và chỉ khi phương trình $f(x) = m$ có nghiệm $x \in D$ . Đó là công cụ chính để tìm $T$ :

Giả sử $y_0$ là một giá trị cần xét.
Giải $f(x) = y_0$ theo $x$ , được $x$ theo $y_0$ (nếu đơn giản).
Tìm các $y_0$ làm cho nghiệm $x$ vẫn thuộc $D$ .

Với nhiều hàm đơn giản có thể suy từ một đánh giá: $x^2 \ge 0$ , $\sqrt{A} \ge 0$ , $|A| \ge 0$ .

Đọc từ đồ thị. Chiếu mọi điểm của đồ thị lên trục tung: phần trục tung bị phủ chính là $T$ . (Chiếu lên trục hoành thì được $D$ .) Chi tiết ở bài Đồ thị hàm số.

Tương tácChiếu đồ thị lên hai trục

y = 2 + 4 sin \frac{π ( x + 1 )}{5}

Đ a ˜ qu e ˊ t x \leq 2 : trục O x đư ợc phủ [- 1; 2]

Trục O y đư ợc phủ [2; 6]

y = 3 : s o ˆ ˊ giao đ iểm = 2

3 thuộc T

Đường quét dọc x = 2Đường ngang y = 3

Kéo đường quét dọc: phần trục hoành đã quét là D, phần trục tung bị phủ là T. Chọn y = 2 + 3/(x − 1) để thấy trục tung thủng đúng giá trị 2, rồi kéo đường ngang y = t qua 2.

02Tóm tắt

Điều kiện: mẫu $\ne 0$ ; dưới căn $\ge 0$ ; căn ở mẫu thì $> 0$ ; $D$ là giao của các điều kiện.
Dùng bảng dấu cho căn của tích, bảng kí hiệu khoảng đúng chuẩn.
Tham số: viết $D$ theo $m$ , so từng đầu mút, chú ý mở/đóng.
Tập giá trị: $m \in T \Leftrightarrow f(x) = m$ có nghiệm trong $D$ ; đọc từ đồ thị bằng cách chiếu lên $Oy$ .

03Mở rộng

Khi dưới căn là tam thức bậc hai (như $\sqrt{x^2 - x - 6}$ ) hay tham số xuất hiện trong chính tam thức ( $x^2 - 2mx + 4 \ne 0$ với mọi $x$ ), ta cần xét dấu tam thức bậc hai: xem chương Dấu của tam thức bậc hai. Khi đó điều kiện "xác định với mọi $x$ " thường dẫn tới điều kiện về biệt thức $\Delta$ .

Tiếp theoPhương pháp →