Giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của hàm bậc hai trên một đoạn

Cho $f(x)=ax^2+bx+c$, đoạn $[\alpha;\beta]$, hoành độ đỉnh $h=-\dfrac b{2a}$.

Vì sao? Khi $a>0$, hàm giảm đến $h$ rồi tăng:

• $h\le\alpha$: hàm chỉ tăng trên đoạn, $\min=f(\alpha)$, $\max=f(\beta)$.
• $\alpha<h<\beta$: $\min=f(h)$; $\max=\max\{f(\alpha),f(\beta)\}$ (điểm nào xa trục hơn thì cao hơn).
• $h\ge\beta$: hàm chỉ giảm, $\min=f(\beta)$, $\max=f(\alpha)$.

Khi $a<0$ thì đảo vai trò max và min.

Trên khoảng hay nửa khoảng, một đầu mút không thuộc tập nên giá trị tại đó không đạt. Khi đó có thể không tồn tại GTLN hoặc GTNN (hàm chỉ tiến gần dần mà không chạm). Vẫn vẽ phác đồ thị hoặc bảng biến thiên để kết luận.

Khi hàm hoặc đoạn có chứa tham số $m$, hoành độ đỉnh $h(m)$ có thể nằm bên trái, bên trong, hoặc bên phải đoạn. Ta chia ba trường hợp, mỗi trường hợp có công thức min (hoặc max) riêng, rồi giải phương trình theo $m$ và đối chiếu điều kiện của chính trường hợp đó.