Phương trình bậc bốn đối xứng · Toán 10

Phương trình bậc bốn đối xứng (hồi quy)

t = x + 1/x và |t| ≥ 2

Mục tiêu

Nhận ra phương trình bậc bốn có hệ số đối xứng $a,\ b,\ c,\ b,\ a$ (hồi quy), chia hai vế cho $x^2$ và đặt $t = x + \dfrac1x$ .
Dùng điều kiện $\lvert t \rvert \ge 2$ để loại nghiệm $t$ và đếm đúng số nghiệm $x$ ứng với mỗi $t$ .
Giải được các biến thể: hệ số đối nhau ( $a,\ b,\ 0,\ -b,\ -a$ ) và hệ số "tỉ lệ" ( $t = x + k/x$ ).

Khởi động

Xét $2x^4 - 9x^3 + 14x^2 - 9x + 2 = 0$ . Đọc hệ số từ trái sang phải: $2,\ -9,\ 14,\ -9,\ 2$ ; đọc từ phải sang trái cũng vậy. Hệ số đối xứng qua tâm. Điều đó có nghĩa: nếu $x_0$ là nghiệm thì $\dfrac1{x_0}$ cũng là nghiệm (thay $x$ bằng $1/x$ rồi nhân $x^4$ ta được lại chính phương trình ấy). Nghiệm đi theo cặp nghịch đảo! Vì thế một ẩn mới nối $x$ với $1/x$ , cụ thể là $x + \dfrac1x$ , sẽ giảm bậc bốn xuống bậc hai.

01Kiến thức cần nhớ

1. Dạng hồi quy và cách giải

Chú ý đúng chỗ dễ sai: $x^2 + \dfrac1{x^2} = t^2 - \mathbf{2}$ (từ $(x + 1/x)^2 = x^2 + 2 + 1/x^2$ ), không phải $t^2 + 2$ .

2. Điều kiện $\lvert t \rvert \ge 2$

Từ $t = x + \dfrac1x$ suy ra $x^2 - tx + 1 = 0$ . Phương trình này có nghiệm $x$ khi và chỉ khi $\Delta = t^2 - 4 \ge 0$ , tức $\lvert t \rvert \ge 2$ .

Hình ảnh: đồ thị $t = x + \dfrac1x$ gồm hai nhánh. Nhánh $x > 0$ có điểm thấp nhất $(1;\ 2)$ , nhánh $x < 0$ có điểm cao nhất $(-1;\ -2)$ . Đường ngang $t = t_0$ cắt đồ thị khi $\lvert t_0 \rvert \ge 2$ .

Tương táct = x + 1/x: vì sao |t| ≥ 2

Điểm cam

x = 2

\frac{1}{x} = 0, 5, t = 2, 5

x^{2} + \frac{1}{x ^{2}} = t^{2} - 2 = 4, 25

t_{0} = 3

: hai nghiệm nghịch đảo

x \approx 0, 382; 2, 618

, tích

1

t_{0}

3x 2

Kéo điểm cam bằng thanh trượt x: t chạm 2 ở x = 1 rồi tăng lại. Đặt t₀ = 3: hai nghiệm 0,38 và 2,62 có tích 1. Kéo t₀ vào dải xám |t| < 2: đường ngang không cắt đồ thị.

3. Biến thể: hệ số đối nhau

Phương trình $ax^4 + bx^3 + 0\cdot x^2 - bx - a = 0$ (hệ số $a,\ b,\ 0,\ -b,\ -a$ ) có $x = 1$ và $x = -1$ là nghiệm: thay vào được $a + b - b - a = 0$ và $a - b + b - a = 0$ . Vậy đa thức chia hết cho $x^2 - 1$ :

ax^4 + bx^3 - bx - a = (x^2 - 1)\left(ax^2 + bx + a\right).

Phần còn lại $ax^2 + bx + a = 0$ là bậc hai. Có thể giải trực tiếp, không cần ẩn phụ.

4. Biến thể: hệ số "tỉ lệ"

Phương trình $ax^4 + bx^3 + cx^2 + kbx + k^2a = 0$ với $k \ne 0$ (hệ số thứ tư là $kb$ , hệ số cuối là $k^2a$ ) chia cho $x^2$ được

a\left(x^2 + \frac{k^2}{x^2}\right) + b\left(x + \frac{k}{x}\right) + c = 0.

Đặt $t = x + \dfrac kx$ , khi đó $x^2 + \dfrac{k^2}{x^2} = t^2 - 2k$ . Điều kiện cho $t$ : $x^2 - tx + k = 0$ có nghiệm khi $t^2 - 4k \ge 0$ . Với $k > 0$ là $\lvert t \rvert \ge 2\sqrt{k}$ .

Tương tácGiải hồi quy: nghiệm t rồi nghiệm x

a 1b -4c 5

x^{4} - 4 x^{3} + 5 x^{2} - 4 x + 1 = 0 ⟹ t^{2} - 4 t + 3 = 0

t = 1

: loại vì

∣ t ∣ < 2

t = 3

: nhận,

x \in {0, 382; 2, 618}

Số nghiệm thực của phương trình bậc bốn: 2

Chọn Ví dụ 3 (a, b, c = 1, −4, 5): nghiệm t = 1 rơi vào dải xám nên bị loại, chỉ t = 3 sinh ra hai nghiệm x. Đổi b hoặc c để nghiệm t di chuyển vào, ra khỏi dải.

02Tóm tắt

Hệ số $a,\ b,\ c,\ b,\ a$ : chia $x^2$ , đặt $t = x + \dfrac1x$ , $x^2 + \dfrac1{x^2} = t^2 - 2$ .
Điều kiện $\lvert t \rvert \ge 2$ ; $\lvert t \rvert > 2$ cho hai nghiệm nghịch đảo, $\lvert t \rvert = 2$ cho một nghiệm.
Hệ số đối nhau $a,\ b,\ 0,\ -b,\ -a$ : có nhân tử $x^2 - 1$ .
Hệ số tỉ lệ ( $kb$ , $k^2a$ ): $t = x + \dfrac kx$ , $x^2 + \dfrac{k^2}{x^2} = t^2 - 2k$ , $t^2 \ge 4k$ .

Tiếp theoPhương pháp →