Khái niệm hàm số

Hai chữ "một và chỉ một" là linh hồn của định nghĩa:

• "Một": không có $x \in D$ nào bị bỏ lại không có giá trị.
• "Chỉ một": không có $x$ nào cho hai giá trị $y$ khác nhau.

Nhưng chiều ngược lại thì được phép: hai giá trị $x$ khác nhau có thể cho cùng một $y$ (như $f(2) = f(-2) = 4$ với $f(x) = x^2$).

Ví dụ phản chứng. Quy tắc "$y$ là số thoả mãn $y^2 = x$" trên $D = [0; +\infty)$ không phải hàm số, vì $x = 4$ cho cả $y = 2$ lẫn $y = -2$. Còn quy tắc "$y = \sqrt{x}$" (lấy căn bậc hai không âm) thì là hàm số trên $[0; +\infty)$.

a) Cho bằng công thức. Ví dụ $y = 2x^2 - 3x + 1$, $y = \dfrac{x+1}{x-2}$, $y = \sqrt{3 - x}$.

b) Cho bằng nhiều công thức. Trên các phần khác nhau của tập xác định, hàm số có thể dùng các công thức khác nhau. Ví dụ hàm giá trị tuyệt đối:

Chỉ là một hàm số, nhưng "có hai nhánh". Mỗi $x$ chỉ rơi vào đúng một nhánh, nên vẫn cho đúng một giá trị.

c) Cho bằng bảng, biểu đồ hay mô tả. Bảng nhiệt độ ở phần Khởi động là một hàm số với tập xác định $D = \{6; 9; 12; 15; 18\}$ và không hề có công thức. Nhiều đại lượng trong thực tế (nhiệt độ, giá cổ phiếu, số ca bệnh) chỉ cho được theo cách này.

Để tính $f(a)$: chọn đúng công thức (nếu hàm có nhiều công thức), rồi thay mọi chữ $x$ bằng số $a$ (đặt $a$ trong ngoặc nếu $a$ âm).

Với hàm nhiều công thức, điều kiện của $x$ quyết định công thức; điểm biên (như $x = 0$ với $|x|$) thuộc về nhánh nào có dấu bằng.

• Hàm số: mỗi $x \in D$ ứng với đúng một $y$; kí hiệu $y = f(x)$; $D$ là tập xác định.
• Ba cách cho hàm số: công thức, nhiều công thức, bảng/biểu đồ.
• Tính $f(a)$: kiểm $a \in D$, chọn đúng nhánh, thay số có ngoặc.
• Bài thực tế bậc thang: tính từng bậc rồi cộng; bài ngược thì so mốc trước.