Hàm số đồng biến, nghịch biến

Cho hàm số $y = f(x)$ xác định trên khoảng $(a; b)$ (cũng áp dụng cho nửa khoảng, đoạn).

Cụm "với mọi $x_1, x_2$" rất quan trọng: không thể kiểm tra bằng vài cặp số. Một vài cặp cho kết quả tăng vẫn chưa kết luận được là đồng biến.

Ý nghĩa hình học: đồ thị của hàm đồng biến trên $(a; b)$ "đi lên" khi đi từ trái sang phải; của hàm nghịch biến thì "đi xuống".

Với $x_1 \ne x_2$ cùng thuộc khoảng đang xét, đặt

Đó là hệ số góc của cát tuyến nối hai điểm $(x_1; f(x_1))$ và $(x_2; f(x_2))$ trên đồ thị. Vì $x_2 - x_1$ không đổi dấu khi ta giả sử $x_1 < x_2$ (luôn dương), nên:

Vậy "xét sự biến thiên" chuyển thành bài toán "xét dấu của $T$ trên khoảng".

Bảng biến thiên cho thấy hàm đi lên hay đi xuống trên từng khoảng bằng mũi tên: mũi tên $\nearrow$ (đi lên) cho đồng biến, $\searrow$ (đi xuống) cho nghịch biến, kèm các giá trị tại chỗ đổi chiều.

Ví dụ $y = x^2$: nghịch biến trên $(-\infty; 0)$, đồng biến trên $(0; +\infty)$:

Với đường gấp khúc $(C)$ qua $A(-3; 1)$, $B(-1; -2)$, $C(1; 2)$, $E(3; 0)$ ở bài Đồ thị hàm số: đồ thị đi xuống từ $A$ đến $B$, đi lên từ $B$ đến $C$, đi xuống từ $C$ đến $E$. Vậy $f$ nghịch biến trên $(-3; -1)$ và $(1; 3)$, đồng biến trên $(-1; 1)$.

• Đồng biến: $x_1 < x_2 \Rightarrow f(x_1) < f(x_2)$ (đồ thị đi lên). Nghịch biến: $x_1 < x_2 \Rightarrow f(x_1) > f(x_2)$ (đồ thị đi xuống). Luôn nói trên một khoảng.
• Tỉ số biến thiên $T = \dfrac{f(x_2) - f(x_1)}{x_2 - x_1}$: $T > 0$ đồng biến, $T < 0$ nghịch biến; $T$ là hệ số góc cát tuyến.
• Hàm bậc nhất $y = ax + b$: đồng biến khi $a > 0$, nghịch biến khi $a < 0$.
• Phân tích $f(x_2) - f(x_1)$ thành tích có thừa số $(x_2 - x_1)$ rồi xét dấu.
• Kết luận theo từng khoảng, lập bảng biến thiên.