Trung tuyến và phân giác · Toán 10

Độ dài đường trung tuyến và đường phân giác

Độ dài từ ba cạnh

Mục tiêu

Tính độ dài trung tuyến khi biết ba cạnh, và ngược lại tính một cạnh khi biết trung tuyến.
Tính độ dài đoạn phân giác trong và vị trí chân đường phân giác trên cạnh đối diện.
Thấy cả hai công thức đều chỉ là định lí côsin dùng khéo hai lần.

Khởi động

Một tấm bìa tam giác được treo cân bằng nếu ta móc dây vào trọng tâm, giao điểm của ba đường trung tuyến. Muốn khoét lỗ móc đúng chỗ, ta cần biết trung tuyến dài bao nhiêu, nhưng trong tay chỉ có thước đo ba cạnh. Liệu ba cạnh có đủ để biết trung tuyến?

01Kiến thức cần nhớ

1. Công thức trung tuyến

Vì sao đúng? Gọi $M$ là trung điểm $BC$ , đặt $\varphi = \widehat{AMB}$ , khi đó $\widehat{AMC} = 180^\circ - \varphi$ nên $\cos\widehat{AMC} = -\cos\varphi$ . Áp dụng định lí côsin cho hai tam giác $ABM$ và $ACM$ (cùng cạnh $AM = m_a$ , $BM = CM = \dfrac a2$ ):

c^2 = m_a^2 + \frac{a^2}{4} - a\,m_a\cos\varphi, \qquad b^2 = m_a^2 + \frac{a^2}{4} + a\,m_a\cos\varphi.

Cộng hai đẳng thức, số hạng chứa $\cos\varphi$ triệt tiêu: $b^2 + c^2 = 2m_a^2 + \dfrac{a^2}{2}$ , suy ra công thức.

Tương tácTrung tuyến AM

a = 5, b = 3, 54, c = 4, 53

m_{a} = A M = 3, 2

\frac{2 b ^{2} + 2 c ^{2} - a ^{2}}{4} = 3, 2

φ = 104, 5^{\circ}

cos φ = - 0, 25, cos (18 0^{\circ} - φ) = 0, 25

Kéo A: độ dài đo được của AM luôn bằng công thức; hai góc kề bù tại M có côsin đối nhau.

Tương tácBa trung tuyến và trọng tâm

m_{a}^{2} = 21, 41, m_{b}^{2} = 35, 54, m_{c}^{2} = 30, 29

m_{a}^{2} + m_{b}^{2} + m_{c}^{2} = 87, 24

\frac{3}{4} (a^{2} + b^{2} + c^{2}) = 87, 24

A G = 3, 08, GM = 1, 54 \Rightarrow A G = 2 GM

Kéo ba đỉnh: tổng bình phương ba trung tuyến luôn bằng ¾ tổng bình phương ba cạnh, và G chia mỗi trung tuyến theo tỉ lệ 2 : 1.

2. Đường phân giác trong

Gọi $AD$ là phân giác trong của góc $A$ ( $D$ thuộc cạnh $BC$ ), $\ell_a = AD$ .

Vị trí chân phân giác. Tính chất đường phân giác cho $\dfrac{DB}{DC} = \dfrac{AB}{AC} = \dfrac{c}{b}$ . Vì $DB + DC = a$ nên

DB = \frac{ac}{b + c}, \qquad DC = \frac{ab}{b + c}.

Độ dài phân giác. Làm giống như với trung tuyến: hai góc $\widehat{ADB}$ và $\widehat{ADC}$ bù nhau. Viết định lí côsin cho hai tam giác $ABD$ , $ACD$ , nhân đẳng thức thứ nhất với $DC$ , thứ hai với $DB$ rồi cộng, số hạng chứa côsin lại triệt tiêu. Sau khi thay $DB$ , $DC$ ở trên ta được:

Tương tácPhân giác AD

a = 5, b = 3, 54, c = 4, 53

\frac{D B}{D C} = 1, 28, \frac{c}{b} = 1, 28

ℓ_{a} = A D = 3, 14

\frac{b c [( b + c ) ^{2} - a ^{2} ]}{( b + c ) ^{2}} = 3, 14

Kéo A: tỉ số DB/DC luôn bằng c/b, độ dài AD khớp với công thức.

Trường hợp đặc biệt $A = 120^\circ$ . Phân giác chia góc thành hai góc $60^\circ$ . Cộng diện tích hai tam giác $ABD$ và $ACD$ :

\frac12 bc\sin 120^\circ = \frac12 c\,\ell_a\sin 60^\circ + \frac12 b\,\ell_a\sin 60^\circ \ \Rightarrow\ \ell_a = \frac{bc}{b + c}.

02Tóm tắt

$m_a^2 = \dfrac{2b^2 + 2c^2 - a^2}{4}$ ; tổng bình phương ba trung tuyến bằng $\dfrac34$ tổng bình phương ba cạnh.
Chân phân giác: $DB = \dfrac{ac}{b + c}$ , $DC = \dfrac{ab}{b + c}$ .
$\ell_a^2 = bc - DB\cdot DC$ ; khi $A = 120^\circ$ thì $\ell_a = \dfrac{bc}{b + c}$ .
Cả hai công thức: định lí côsin cho hai tam giác có hai góc bù nhau tại chân đường.

Tiếp theoPhương pháp →