Điều kiện nghiệm của phương trình bậc hai theo tham số và hệ thức Viète

Xét phương trình $ax^2 + bx + c = 0$ với $a, b, c$ phụ thuộc $m$.

• Nếu $a$ có thể bằng $0$: xét $a = 0$ riêng. Khi $a = 0$ phương trình là $bx + c = 0$: có nghiệm duy nhất nếu $b \ne 0$; vô nghiệm nếu $b = 0$, $c \ne 0$; mọi $x$ là nghiệm nếu $b = c = 0$.
• Nếu $a \ne 0$: dùng $\Delta$.

Khi "có nghiệm" mà $a$ chứa $m$, đáp số là hợp của trường hợp $a = 0$ (nếu phương trình bậc nhất còn có nghiệm) và trường hợp $a \ne 0$ với $\Delta \ge 0$.

Hệ thức đúng vì $a(x - x_1)(x - x_2) = ax^2 - a(x_1 + x_2)x + ax_1x_2$ đồng nhất với $ax^2 + bx + c$. Điều kiện đi kèm là có nghiệm, tức $\Delta \ge 0$: nếu $\Delta < 0$ thì không có $x_1$, $x_2$ thực, và các giá trị $S$, $P$ chỉ là biểu thức đại số vô nghĩa hình học.

Phép đổi ngược cũng dùng được: hai số có tổng $S$ và tích $P$ là hai nghiệm của $t^2 - St + P = 0$, có nghiệm thực khi $S^2 - 4P \ge 0$.

Biểu thức đối xứng là biểu thức không đổi khi hoán đổi $x_1 \leftrightarrow x_2$. Mọi biểu thức đối xứng đều tính được qua $S$ và $P$ (không cần giải nghiệm):

Với $\Delta \ge 0$, $S = x_1 + x_2$ và $P = x_1x_2$:

(Muốn hai nghiệm phân biệt, thay $\Delta \ge 0$ bằng $\Delta > 0$.)

Cho $f(x) = ax^2 + bx + c$ có hai nghiệm $x_1 \le x_2$ và số $\alpha$. Từ "trong trái, ngoài cùng":

• $\alpha$ nằm giữa hai nghiệm ($x_1 < \alpha < x_2$) $\iff$ $a \cdot f(\alpha) < 0$.
• Hai nghiệm đều lớn hơn $\alpha$ $\iff$ $\Delta \ge 0$, $a \cdot f(\alpha) > 0$ (tức $\alpha$ ở ngoài) và $\dfrac{S}{2} > \alpha$ ($\alpha$ ở bên trái cả hai nghiệm).
• Hai nghiệm đều nhỏ hơn $\alpha$ $\iff$ $\Delta \ge 0$, $a \cdot f(\alpha) > 0$, $\dfrac{S}{2} < \alpha$.

Lí do cần $\dfrac{S}{2}$: $a \cdot f(\alpha) > 0$ chỉ cho biết $\alpha$ ở ngoài đoạn $[x_1; x_2]$, chưa biết bên trái hay bên phải; $\dfrac{S}{2}$ là trung điểm hai nghiệm nên so sánh với $\alpha$ phân định phía.

• Số nghiệm theo $\Delta$ khi $a \ne 0$; $a = 0$ xét riêng.
• Viète: $S = -\dfrac{b}{a}$, $P = \dfrac{c}{a}$; luôn kèm điều kiện $\Delta \ge 0$.
• $x_1^2 + x_2^2 = S^2 - 2P$, $(x_1 - x_2)^2 = S^2 - 4P$, $x_1^3 + x_2^3 = S^3 - 3PS$.
• Trái dấu: $P < 0$; hai dương: $\Delta \ge 0$, $S > 0$, $P > 0$.
• So sánh với $\alpha$: $a \cdot f(\alpha) < 0$ (giữa); $\Delta \ge 0$, $a \cdot f(\alpha) > 0$, $\dfrac{S}{2} \gtrless \alpha$ (cùng phía).