Parabol và đường thẳng

Cho parabol $(P)$: $y=ax^2+bx+c$ và đường thẳng $(d)$: $y=kx+n$. Hoành độ giao điểm là nghiệm của $ax^2+bx+c=kx+n\iff ax^2+(b-k)x+(c-n)=0.$ Gọi $\Delta'$ là biệt thức của phương trình này:

Với mỗi nghiệm $x_0$, giao điểm là $(x_0;\ kx_0+n)$. Tung độ tính bằng phương trình đường thẳng (đơn giản hơn).

Trường hợp đặc biệt đường thẳng nằm ngang $y=m$: số nghiệm của $f(x)=m$ cho bởi hình: đường ngang cắt parabol 2 điểm khi nằm phía "trong lòng" parabol, 1 điểm khi qua đỉnh, 0 điểm khi nằm phía ngoài.

Giao điểm của $y=f(x)$ và $y=g(x)$: giải $f(x)=g(x)$ (phương trình bậc hai hoặc bậc nhất), rồi thế nghiệm vào một trong hai hàm.

Cho $(d)$: $y=kx+n$ cắt $(P)$ tại $A(x_1;y_1)$, $B(x_2;y_2)$. Vì $y_2-y_1=k(x_2-x_1)$: $AB^2=(x_2-x_1)^2+(y_2-y_1)^2=(1+k^2)(x_2-x_1)^2.$ Mặt khác với phương trình hoành độ $Ax^2+Bx+C=0$ (hai nghiệm $x_1,x_2$): theo Vi-ét $x_1+x_2=-\dfrac BA$, $x_1x_2=\dfrac CA$ nên $(x_1-x_2)^2=(x_1+x_2)^2-4x_1x_2=\dfrac{B^2-4AC}{A^2}=\dfrac{\Delta'}{A^2}.$

• Giao điểm: giải $f(x)=kx+n$; số giao điểm theo dấu $\Delta'$.
• $\Delta'=0$: tiếp xúc, tiếp điểm có hoành độ $-\dfrac B{2A}$.
• $AB=\sqrt{1+k^2}\,\lvert x_1-x_2\rvert$, $(x_1-x_2)^2=\dfrac{\Delta'}{A^2}$.
• Đường ngang $y=m$: đếm số giao điểm bằng đồ thị.