Phủ định mệnh đề, kí hiệu ∀ và ∃

Cách lập $\overline{P}$ đơn giản nhất: thêm (hoặc bớt) chữ "không" hoặc "không phải" vào vị ngữ. Với các mệnh đề toán học, nên đổi bằng bảng sau để khỏi nhầm:

Mệnh đề $P$	Phủ định $\overline{P}$
$a = b$	$a \ne b$
$a > b$	$a \le b$
$a < b$	$a \ge b$
$a \ge b$	$a < b$
$a \in A$	$a \notin A$
$a$ chia hết cho $b$	$a$ không chia hết cho $b$
$n$ là số nguyên tố	$n$ không là số nguyên tố

• Kí hiệu $\forall$ đọc là "với mọi" (mọi phần tử, bất kì).
• Kí hiệu $\exists$ đọc là "tồn tại" (có ít nhất một).

Cho $P(x)$ là mệnh đề chứa biến, $x$ chạy trong tập $X$. Hai cách tạo mệnh đề:

• "$\forall x \in X,\ P(x)$": đúng khi $P(x)$ đúng với mọi $x \in X$. Chỉ cần một $x$ làm $P(x)$ sai (gọi là phản ví dụ) thì mệnh đề sai.
• "$\exists x \in X,\ P(x)$": đúng khi có ít nhất một $x \in X$ làm $P(x)$ đúng. Muốn nó sai, phải chỉ ra không $x$ nào làm $P(x)$ đúng.

Có thể nhìn bằng tập chân lý $T = \{x \in X \mid P(x) \text{ đúng}\}$: "$\forall x \in X,\ P(x)$" đúng khi $T = X$; "$\exists x \in X,\ P(x)$" đúng khi $T \ne \varnothing$.

Vì sao đúng? "Không phải mọi ô đều sáng" nghĩa là "có ít nhất một ô tối". Còn "không có ô nào sáng" nghĩa là "mọi ô đều tối". Đối chiếu với tập chân lý: $T \ne X$ nghĩa là tập $\{x \in X \mid \overline{P(x)}\}$ khác rỗng.

Ví dụ: $P$: "$\forall x \in \mathbb{R},\ x^2 + 1 > 0$" (đúng). Phủ định: $\overline P$: "$\exists x \in \mathbb{R},\ x^2 + 1 \le 0$" (sai, vì $x^2 + 1 \ge 1$).

Nội dung	Quy tắc
Phủ định $P$	$\overline P$ có giá trị đúng sai ngược $P$
Phủ định vị từ	$=\to\ne$; $>\to\le$; $<\to\ge$; $\in\to\notin$
$\forall x,\ P(x)$	Đúng khi mọi $x$ làm $P$ đúng; sai nếu có phản ví dụ
$\exists x,\ P(x)$	Đúng khi có ít nhất một $x$ làm $P$ đúng
Phủ định của $\forall$	$\exists$ và phủ định phần sau
Phủ định của $\exists$	$\forall$ và phủ định phần sau