Tham số và đồ thị chứa trị tuyệt đối

Quỹ tích đỉnh, đếm nghiệm

Mục tiêu

Viết toạ độ đỉnh theo tham số, tìm tham số để đỉnh thuộc đường cho trước, tìm tập hợp các đỉnh khi tham số thay đổi.
Vẽ đồ thị $y=\lvert f(x)\rvert$ và $y=f(\lvert x\rvert)$ từ đồ thị $y=f(x)$ .
Biện luận số nghiệm phương trình theo $m$ bằng cách đếm giao điểm với đường ngang $y=m$ .

Khởi động

Khi tham số $m$ thay đổi, parabol $y=x^2-2mx+m+2$ "trượt" trên mặt phẳng. Đỉnh của nó vạch ra một đường nào đó. Đường ấy là gì? Nhìn từ xa, ta sẽ thấy các đỉnh nằm trên một parabol khác. Chưa dùng đến hình, ta vẫn trả lời được bằng tính toán: gọi toạ độ đỉnh theo $m$ , rồi khử $m$ .

01Kiến thức cần nhớ

1. Đỉnh theo tham số

Với $y=ax^2+bx+c$ mà $a$ , $b$ , $c$ chứa $m$ : đỉnh $I\left(-\dfrac{b}{2a};\ f\left(-\dfrac b{2a}\right)\right)$ cũng là hàm của $m$ . Đỉnh thuộc đường $(\Gamma)$ khi toạ độ của nó nghiệm đúng phương trình của $(\Gamma)$ . Khử $m$ giữa $x_I=u(m)$ và $y_I=v(m)$ cho phương trình của tập hợp các đỉnh.

Tương tácĐỉnh chạy trên một parabol khác

y = x^{2} + 2

I (m; - m^{2} + m + 2) = I (0; 2)

y_{I} - 2 x_{I} = 2

Đỉnh chưa nằm trên y = 2x

- m^{2} + m + 2 = 2 m \Leftrightarrow m = 1 hoặc m = - 2

m 0

Kéo điểm I (hoặc thanh trượt m, hoặc bấm “Quét m”): vệt đậm là phần quỹ tích đỉnh đã đi qua. Đỉnh sáng lên khi nằm trên y = 2x, đúng ở m = 1 và m = −2.

2. Đồ thị chứa trị tuyệt đối

Từ đồ thị $(C)$ của $y=f(x)$ :

$y=\lvert f(x)\rvert$ : giữ nguyên phần của $(C)$ nằm phía trên (và trên) $Ox$ ; phần nằm dưới $Ox$ lấy đối xứng qua $Ox$ . Đồ thị nằm hoàn toàn trên $Ox$ .
$y=f(\lvert x\rvert)$ : chỉ giữ phần của $(C)$ ứng với $x\ge0$ , rồi lấy đối xứng phần đó qua $Oy$ (phần $x<0$ của $(C)$ bỏ đi). Đồ thị đối xứng qua $Oy$ .

Lí do: $\lvert f(x)\rvert=f(x)$ khi $f(x)\ge0$ và $=-f(x)$ khi $f(x)<0$ (đối xứng qua $Ox$ ); $f(\lvert x\rvert)=f(x)$ khi $x\ge0$ và $=f(-x)$ khi $x<0$ (đối xứng qua $Oy$ ).

y = f(x)

y = |f(x)|

y = f(|x|)

3. Biện luận số nghiệm bằng đồ thị

Số nghiệm của $g(x)=m$ bằng số giao điểm của đồ thị $y=g(x)$ với đường ngang $y=m$ . Cho $m$ chạy từ dưới lên trên, đếm giao điểm tại các mốc: giá trị cực tiểu, cực đại cục bộ, các giá trị tại chỗ gập.

Tương tácĐếm nghiệm bằng đường ngang y = m

y = ∣ x^{2} - 4 x + 3 ∣

y = m = 0, 5

S o ˆ ˊ nghiệm: 4

x \in {0, 775; 1, 293; 2, 707; 3, 225}

m	số nghiệm
m < 0	0
m = 0	2
0 < m < 1	4
m = 1	3
m > 1	2

m 0,5

Chọn y = |f(x)| hoặc y = f(|x|), kéo m. Dòng đúng của bảng sáng lên; thử đúng các mốc m = 0, 1, 3 (hoặc −1): số nghiệm đổi ở đó, nên phải xét riêng từng mốc.

02Tóm tắt

Việc	Cách làm
Đỉnh theo $m$	$x_I=-\dfrac{b}{2a}$ , $y_I=f(x_I)$
Quỹ tích đỉnh	Khử $m$ giữa $x_I$ và $y_I$
$\lvert f(x)\rvert$	Lật phần dưới $Ox$ lên
$f(\lvert x\rvert)$	Bỏ nhánh trái, lấy đối xứng nhánh phải qua $Oy$
Số nghiệm $g(x)=m$	Đếm giao điểm với $y=m$ , xét riêng các mốc

Tiếp theoPhương pháp →