Phương trình hàm đơn giản bằng phép thế

Đề cho một hệ thức chứa $f$ và đòi tìm tất cả hàm số $f$ thoả hệ thức đúng với mọi $x$ trong một tập cho trước. Khác với phương trình thường (tìm số), ở đây "ẩn" là cả một hàm số.

Hai công cụ cơ bản:

1. Thay giá trị đặc biệt của biến ($x = 0$, $x = 1$, $y = x$, $y = 0$, …) để tìm $f(0)$, $f(1)$, các giá trị đầu, rồi đoán và kiểm.
2. Thay biến bằng biểu thức: thay $x$ bằng $\varphi(x)$ sao cho tập các biểu thức đóng kín, ví dụ $x \to \dfrac1x$, $x \to -x$, $x \to 1 - x$. Mỗi phép thế đó là một phép đối hợp (làm hai lần thì trở về $x$), vì vậy chỉ có hai "ẩn hàm" là $f(x)$ và $f(\varphi(x))$: ta có hệ hai phương trình hai ẩn.

1. Ghi phương trình (1) đã cho.
2. Thay $x$ bằng $\varphi(x)$ để có phương trình (2), nhớ $\varphi(\varphi(x)) = x$.
3. Coi $f(x)$ và $f(\varphi(x))$ là hai ẩn, giải hệ (1), (2) bằng cộng trừ hoặc thế.
4. Kết luận $f(x)$.
5. Thử lại: thay $f$ vừa tìm vào hệ thức ban đầu. Bước này không bỏ được: ta đã suy $f$ từ điều kiện cần, phải kiểm tra điều kiện đủ.

• Phương trình hàm: tìm hàm $f$ thoả hệ thức với mọi $x$ trong tập xác định.
• Dạng $af(x) + bf(\varphi(x)) = g(x)$: thay $x \to \varphi(x)$ ($\dfrac1x$, $-x$, $1 - x$), giải hệ hai ẩn $f(x)$, $f(\varphi(x))$.
• Dạng $f(\text{bậc nhất}) = g(x)$: đặt $t$ rồi đổi lại.
• Dạng hai biến: thay giá trị đặc biệt, tìm quy luật, kiểm.
• Luôn thử lại nghiệm; hệ có thể mâu thuẫn (không có hàm nào).