Phương trình hàm đơn giản bằng phép thế

Tìm $f$ biết $f(x) + 2f\!\left(\tfrac1x\right) = 3x$ với mọi $x \ne 0$.

Giải. Thay $x$ bằng $\tfrac1x$:

$$f\!\left(\tfrac1x\right) + 2f(x) = \frac3x. \tag{2}$$

Nhân (2) với $2$ rồi trừ phương trình đầu: $4f(x) + 2f(\tfrac1x) - f(x) - 2f(\tfrac1x) = \dfrac6x - 3x$, tức $3f(x) = \dfrac6x - 3x$, nên

$$f(x) = \frac2x - x.$$

Thử lại: $f(\tfrac1x) = 2x - \tfrac1x$ nên $f(x) + 2f(\tfrac1x) = \tfrac2x - x + 4x - \tfrac2x = 3x$. Đúng.

Tìm $f$ biết $2f(x) - f(-x) = x + 1$ với mọi $x \in \mathbb{R}$.

Giải. Thay $x$ bằng $-x$: $2f(-x) - f(x) = -x + 1$. Nhân phương trình đầu với $2$ rồi cộng với phương trình mới: $4f(x) - 2f(-x) + 2f(-x) - f(x) = 2x + 2 - x + 1$, tức $3f(x) = x + 3$, nên $f(x) = \dfrac{x + 3}{3}$.

Thử lại: $2f(x) - f(-x) = \dfrac{2x + 6 - (-x + 3)}{3} = \dfrac{3x + 3}{3} = x + 1$. Đúng.

Tìm $f$ biết $f(x) + 2f(1 - x) = x^2$ với mọi $x \in \mathbb{R}$.

Giải. Thay $x$ bằng $1 - x$: $f(1 - x) + 2f(x) = (1 - x)^2$. Nhân phương trình này với $2$ rồi trừ phương trình đầu: $3f(x) = 2(1 - x)^2 - x^2 = x^2 - 4x + 2$. Vậy $f(x) = \dfrac{x^2 - 4x + 2}{3}$.

Thử lại: $f(1 - x) = \dfrac{(1 - x)^2 - 4(1 - x) + 2}{3} = \dfrac{x^2 + 2x - 1}{3}$, nên $f(x) + 2f(1 - x) = \dfrac{x^2 - 4x + 2 + 2x^2 + 4x - 2}{3} = x^2$. Đúng.

Có hàm số $f$ nào thoả $f(x) + f(1 - x) = x^2$ với mọi $x$ không?

Giải. Thay $x$ bằng $1 - x$: $f(1 - x) + f(x) = (1 - x)^2$. Vế trái của hai hệ thức giống nhau, nên $x^2 = (1 - x)^2$ với mọi $x$. Điều này sai (chẳng hạn $x = 0$: $0 \ne 1$). Vậy không tồn tại hàm $f$ như thế. Bài học: hệ hai phương trình có thể mâu thuẫn; khi phép thế cho hai vế trái trùng nhau thì phải so sánh vế phải.

Tìm $f$ biết $f(x + 1) = x^2 - 3x + 2$.

Giải. Đặt $t = x + 1$, tức $x = t - 1$: $f(t) = (t - 1)^2 - 3(t - 1) + 2 = t^2 - 2t + 1 - 3t + 3 + 2 = t^2 - 5t + 6$. Vậy $f(x) = x^2 - 5x + 6$. Kiểm: $f(x + 1) = (x + 1)^2 - 5(x + 1) + 6 = x^2 - 3x + 2$. Đúng.

Tìm $f$ biết $f(2x + 1) = 4x^2 + 2x$.

Giải. Đặt $t = 2x + 1$, $x = \dfrac{t - 1}{2}$: $f(t) = 4\cdot\dfrac{(t - 1)^2}{4} + (t - 1) = t^2 - 2t + 1 + t - 1 = t^2 - t$. Vậy $f(x) = x^2 - x$. Kiểm: $x = 1$ thì $f(3) = 6$, còn $4 + 2 = 6$. Đúng.

Cho $f(x + y) = f(x) + f(y) + 2xy$ với mọi $x, y$ và $f(1) = 1$. Tính $f(0)$, $f(2)$, $f(3)$ và đoán $f(n)$ với $n$ nguyên dương.

Giải. Cho $x = y = 0$: $f(0) = 2f(0)$, nên $f(0) = 0$. Cho $x = y = 1$: $f(2) = 1 + 1 + 2 = 4$. Cho $x = 2$, $y = 1$: $f(3) = 4 + 1 + 4 = 9$. Dự đoán $f(n) = n^2$. Kiểm trực tiếp với $f(x) = x^2$: $(x + y)^2 = x^2 + y^2 + 2xy$ đúng.