Phương trình √f(x) = g(x) và nghiệm ngoại lai

Vì sao. Nếu $x_0$ là nghiệm thì $g(x_0) = \sqrt{f(x_0)} \ge 0$; bình phương hai vế (cả hai không âm) được $f(x_0) = g(x_0)^2$. Ngược lại, nếu $g(x_0) \ge 0$ và $f(x_0) = g(x_0)^2$ thì $f(x_0) \ge 0$ và $\sqrt{f(x_0)} = \sqrt{g(x_0)^2} = \lvert g(x_0) \rvert = g(x_0)$.

Điểm khác với bài trước: ở $\sqrt f = \sqrt g$ hai vế đều là căn nên luôn không âm; ở $\sqrt f = g$ vế phải là biểu thức tuỳ ý, dấu của $g$ quyết định nghiệm có thật hay không.

• Cách 1, đặt điều kiện trước. Ghi $g(x) \ge 0$ ngay từ đầu, giải $f = g^2$, loại nghiệm không thoả điều kiện. Đây là cách tương đương, nên kết luận là chắc chắn. Hợp khi $g$ đơn giản hoặc nghiệm có căn.
• Cách 2, thử lại. Giải $f = g^2$ rồi thay mỗi nghiệm vào phương trình đầu. Hợp khi nghiệm nguyên, nhỏ.

Hai cách như nhau về kết quả; cách 1 an toàn hơn khi tính toán dài.

Phương trình $y^2 = f(x)$ vẽ ra hai nhánh: $y = \sqrt{f(x)}$ (nhánh trên, $y \ge 0$) và $y = -\sqrt{f(x)}$ (nhánh dưới, $y \le 0$). Phương trình $f(x) = g(x)^2$ ứng với việc đường $y = g(x)$ cắt cả hai nhánh; còn phương trình đầu chỉ tính các giao điểm với nhánh trên. Giao điểm với nhánh dưới là nghiệm ngoại lai, và chúng chính là các giao điểm có $y = g(x) < 0$.

Ví dụ ở Khởi động: $y = \sqrt{x + 6}$ là nửa trên của parabol nằm ngang $x = y^2 - 6$; đường thẳng $y = x$ cắt nửa trên tại $(3; 3)$ và cắt nửa dưới tại $(-2; -2)$.

Khi $f$ và $g^2$ có cùng hệ số $x^2$ thì sau khi chuyển vế còn phương trình bậc nhất, chỉ có tối đa một nghiệm. Ví dụ $\sqrt{x^2 + 3x - 1} = x + 1$ cho $x^2 + 3x - 1 = x^2 + 2x + 1$, tức $x = 2$. Đồ thị: đường thẳng chỉ còn cắt hai nhánh tại một điểm.

• $\sqrt{f} = g \iff g \ge 0$ và $f = g^2$ (không cần $f \ge 0$).
• Nghiệm ngoại lai đến từ nhánh $y = -\sqrt{f}$: đó là các nghiệm làm $g < 0$.
• Quy trình: điều kiện $g \ge 0$, bình phương, giải, đối chiếu, kết luận.
• Nghiệm vô tỉ: đối chiếu điều kiện; nghiệm nguyên: có thể thử lại.
• Vế phải âm với mọi $x$: vô nghiệm ngay.