Phương trình chứa hai căn · Toán 10

Phương trình chứa hai căn, bình phương hai lần

Bình phương hai lần

Mục tiêu

Tìm điều kiện xác định khi có hai căn (giao của hai tập trên trục số) và nhận ra sớm trường hợp vô nghiệm.
Giải $\sqrt{A} \pm \sqrt{B} = c$ bằng cách cô lập một căn, bình phương, rồi cô lập căn còn lại và bình phương lần nữa, kiểm điều kiện ở mỗi lần bình phương.
Dùng mẹo "nhân liên hợp nhẩm" khi $A - B$ là hằng số.

Khởi động

Giải $\sqrt{x + 9} + \sqrt{x} = 9$ . Thử vài số: $x = 0$ cho $3 + 0 = 3$ , $x = 16$ cho $5 + 4 = 9$ . Có vẻ $x = 16$ là nghiệm, và khi $x$ tăng thì tổng hai căn cũng tăng nên chắc không còn nghiệm nào khác. Nhưng "thử số" không phải lời giải. Muốn chứng minh cần bỏ cả hai căn, mà bình phương một lần chưa đủ: $(\sqrt{x + 9} + \sqrt{x})^2$ sinh ra tích $2\sqrt{x(x + 9)}$ vẫn còn căn. Ta sẽ học cách làm chủ việc này.

01Kiến thức cần nhớ

1. Điều kiện xác định là giao của các tập

Phương trình có hai căn $\sqrt{A}$ và $\sqrt{B}$ cần đồng thời $A \ge 0$ và $B \ge 0$ . Tập xác định là giao hai tập nghiệm của hai bất phương trình. Giao có thể rỗng.

Ví dụ: $\sqrt{x - 4} + \sqrt{2 - x} = 1$ cần $x \ge 4$ và $x \le 2$ . Không có $x$ nào, phương trình vô nghiệm. Nhìn tập xác định trước khi bình phương giúp tiết kiệm cả bài.

Tương tácGiao các điều kiện

x - 4 + 2 - x = 1

Đ KX Đ : \emptyset

Giao rỗng: vô nghiệm ngay, không cần bình phương.

Không có x nào để tính vế trái.

p 4q 2c 1

Mặc định p = 4, q = 2: hai dải không gặp nhau, phương trình vô nghiệm ngay. Đưa p về −1 và q về 4 để giao là [−1; 4] (Ví dụ 5). Với giao khác rỗng, vế trái đi từ √(q−p) đến √(2(q−p)); mức c nằm ngoài khoảng này thì vô nghiệm.

2. Bình phương một tổng (hiệu) hai căn

Vì vậy, thay vì bình phương cả tổng, ta thường cô lập một căn trước: $\sqrt{A} = c - \sqrt{B}$ , rồi bình phương, được $A = c^2 - 2c\sqrt{B} + B$ , trong đó chỉ còn một căn $\sqrt{B}$ . Cô lập $\sqrt{B}$ rồi bình phương lần hai thì hết căn.

3. Điều kiện ở từng lần bình phương

Mỗi lần bình phương một phương trình dạng $\sqrt{A} = G$ (với $G$ là vế còn lại) ta phải có $G \ge 0$ (bài 2). Ở $\sqrt{A} = c - \sqrt{B}$ điều kiện là $c - \sqrt{B} \ge 0$ . Nếu điều kiện này khó viết ngay thì cứ giải đến hết, khi có nghiệm hãy thay lại phương trình gốc; nghiệm bị loại ở lần bình phương nào đều thể hiện qua việc thay lại không thoả.

4. Mẹo khi $A - B$ là hằng

Nếu $A - B = k$ (hằng số, $k \ne 0$ ) và $\sqrt{A} + \sqrt{B} = c$ với $c \ne 0$ thì

\sqrt{A} - \sqrt{B} = \frac{A - B}{\sqrt{A} + \sqrt{B}} = \frac{k}{c}.

Cộng, trừ với phương trình đầu được ngay $\sqrt{A}$ và $\sqrt{B}$ , rồi tìm $x$ . Mẹo này tránh được bình phương hai lần, nhưng chỉ dùng được khi hiệu hai biểu thức dưới căn là hằng số.

02Tóm tắt

ĐKXĐ của phương trình hai căn là giao các điều kiện; giao rỗng thì vô nghiệm.
$\left(\sqrt{A} + \sqrt{B}\right)^2 = A + B + 2\sqrt{AB}$ , còn căn.
Quy trình: cô lập một căn, bình phương (điều kiện), cô lập căn còn lại, bình phương (điều kiện), giải, thử lại.
Nếu $A - B = k$ là hằng: $\sqrt{A} - \sqrt{B} = k/c$ khi $\sqrt{A} + \sqrt{B} = c$ .

Tiếp theoPhương pháp →