Các hệ thức lượng giác cơ bản

Kí hiệu $\sin^2\alpha$ nghĩa là $(\sin\alpha)^2$, không phải $\sin(\alpha^2)$.

Giải thích.

• Hệ thức 1: điểm $M(x_0; y_0)$ trên nửa đường tròn đơn vị có $OM = 1$, nên $x_0^2 + y_0^2 = OM^2 = 1$, tức $\cos^2\alpha + \sin^2\alpha = 1$. (Với $\alpha$ khác $0^\circ, 90^\circ, 180^\circ$ đây chính là Pi-ta-go trong tam giác $OHM$; ba góc còn lại kiểm trực tiếp.)
• Hệ thức 2, 3, 4: suy ra từ định nghĩa $\tan\alpha = \dfrac{y_0}{x_0}$, $\cot\alpha = \dfrac{x_0}{y_0}$.
• Hệ thức 5: chia hai vế của hệ thức 1 cho $\cos^2\alpha \ne 0$. Hệ thức 6: chia cho $\sin^2\alpha \ne 0$.

Từ hệ thức 5 (với $\alpha \ne 90^\circ$):

$$\cos^2\alpha = \frac{1}{1 + \tan^2\alpha}, \qquad \sin^2\alpha = \tan^2\alpha\cdot\cos^2\alpha = \frac{\tan^2\alpha}{1 + \tan^2\alpha}.$$

Hệ thức 1 cho $\cos^2\alpha$ chứ không cho $\cos\alpha$: luôn có hai khả năng $\pm$. Dấu phải quyết định nhờ thông tin về góc:

Biết	Kết luận
$\alpha$ nhọn	$\cos\alpha > 0$, $\tan\alpha > 0$
$\alpha$ tù	$\cos\alpha < 0$, $\tan\alpha < 0$
Bất kì $\alpha \in [0^\circ; 180^\circ]$	$\sin\alpha \ge 0$, nên $\sin\alpha = \sqrt{1 - \cos^2\alpha}$ luôn lấy dấu $+$
Biết $\tan\alpha$ hoặc $\cot\alpha$	Dấu của $\cos\alpha$ cùng dấu với $\tan\alpha$ (vì $\sin\alpha > 0$)

Biết	Tính	Công cụ
$\sin\alpha$ hoặc $\cos\alpha$	giá trị kia	$\sin^2\alpha + \cos^2\alpha = 1$, chọn dấu theo góc nhọn/tù
$\tan\alpha$	$\cos\alpha$, $\sin\alpha$	$\cos^2\alpha = \dfrac{1}{1+\tan^2\alpha}$, $\cos\alpha$ cùng dấu $\tan\alpha$
$\cot\alpha$	$\sin\alpha$, $\cos\alpha$	$\sin^2\alpha = \dfrac{1}{1+\cot^2\alpha}$, $\sin\alpha > 0$
$\tan\alpha$	biểu thức đẳng cấp	chia tử, mẫu cho $\cos^k\alpha$
$\sin\alpha \pm \cos\alpha = m$	$\sin\alpha\cos\alpha$, biểu thức đối xứng	bình phương, đặt tổng–tích
—	rút gọn, chứng minh	hằng đẳng thức + $\sin^2 + \cos^2 = 1$