Giá trị lượng giác của góc 0°–180° · Toán 10

01Kiến thức cần nhớ

1. Nửa đường tròn đơn vị và định nghĩa

Vẽ đường tròn tâm $O$ bán kính $1$ trong mặt phẳng toạ độ $Oxy$ và chỉ giữ phần ứng với $y \ge 0$ . Phần còn lại đó là nửa đường tròn đơn vị.

Tương tácĐiểm M chạy trên nửa đường tròn

α = 6 0^{\circ}

sin α = 0, 87 = \frac{3}{2}

cos α = 0, 5 = \frac{1}{2}

tan α = 1, 73 = 3

cot α = 0, 58 = \frac{3}{3}

Góc α

Kéo M, kéo thanh trượt hoặc bấm một góc đặc biệt. Giá trị khớp bảng; tại 90° tang không xác định, tại 0° và 180° côtang không xác định.

Cho trước góc $\alpha$ với $0^\circ \le \alpha \le 180^\circ$ . Quay tia $Ox$ quanh $O$ ngược chiều kim đồng hồ một góc $\alpha$ ; tia mới cắt nửa đường tròn đơn vị tại đúng một điểm, gọi là $M(x_0; y_0)$ . Ta đặt:

Từ định nghĩa suy ra ngay:

\tan\alpha = \frac{\sin\alpha}{\cos\alpha}\ (\alpha \ne 90^\circ), \qquad \cot\alpha = \frac{\cos\alpha}{\sin\alpha}\ (\alpha \ne 0^\circ, 180^\circ).

Vì sao khớp với lớp 9? Khi $\alpha$ nhọn, hạ $MH \perp Ox$ . Tam giác $OHM$ vuông tại $H$ , cạnh huyền $OM = 1$ , nên tỉ số "đối/huyền" bằng $MH = y_0$ và "kề/huyền" bằng $OH = x_0$ . Như vậy định nghĩa mới chỉ là cách nhìn khác của định nghĩa cũ, nhưng dùng được cho cả góc tù, góc vuông và góc bẹt.

2. Phạm vi và dấu

Vì $M$ nằm trên nửa đường tròn phía trên trục hoành nên $0 \le y_0 \le 1$ và $-1 \le x_0 \le 1$ :

0 \le \sin\alpha \le 1, \qquad -1 \le \cos\alpha \le 1.

Góc $\alpha$	$\sin\alpha$	$\cos\alpha$	$\tan\alpha$	$\cot\alpha$
$0^\circ < \alpha < 90^\circ$ (nhọn)	$+$	$+$	$+$	$+$
$90^\circ < \alpha < 180^\circ$ (tù)	$+$	$-$	$-$	$-$

3. Bảng giá trị các góc đặc biệt

$\alpha$	$0^\circ$	$30^\circ$	$45^\circ$	$60^\circ$	$90^\circ$	$120^\circ$	$135^\circ$	$150^\circ$	$180^\circ$
$\sin\alpha$	$0$	$\dfrac12$	$\dfrac{\sqrt2}{2}$	$\dfrac{\sqrt3}{2}$	$1$	$\dfrac{\sqrt3}{2}$	$\dfrac{\sqrt2}{2}$	$\dfrac12$	$0$
$\cos\alpha$	$1$	$\dfrac{\sqrt3}{2}$	$\dfrac{\sqrt2}{2}$	$\dfrac12$	$0$	$-\dfrac12$	$-\dfrac{\sqrt2}{2}$	$-\dfrac{\sqrt3}{2}$	$-1$
$\tan\alpha$	$0$	$\dfrac{\sqrt3}{3}$	$1$	$\sqrt3$	không xác định	$-\sqrt3$	$-1$	$-\dfrac{\sqrt3}{3}$	$0$
$\cot\alpha$	không xác định	$\sqrt3$	$1$	$\dfrac{\sqrt3}{3}$	$0$	$-\dfrac{\sqrt3}{3}$	$-1$	$-\sqrt3$	không xác định

Tương tácBảng giá trị bấm được

α = 12 0^{\circ}

sin α = \frac{3}{2} (tung đ ộ y_{0})

cos α = - \frac{1}{2} (ho a ˋ nh đ ộ x_{0})

M (- \frac{1}{2}; \frac{3}{2})

$α$
$sin α$
$cos α$
$tan α$
$cot α$

Bấm một ô bất kì: M nhảy tới góc đó, hai ô sin và côsin của cột ấy sáng lên. Thử bấm 60° rồi 120° rồi 150°: tung độ giữ nguyên, hoành độ đổi dấu.

4. Góc bù và góc phụ

Góc bù. Hai góc $\alpha$ và $180^\circ - \alpha$ cho hai điểm $M$ , $N$ trên nửa đường tròn đối xứng nhau qua trục $Oy$ : cùng tung độ, hoành độ trái dấu.

Tương tácGóc bù: M và N đối xứng qua Oy

α = 5 0^{\circ}

18 0^{\circ} - α = 13 0^{\circ}

sin α = 0, 77

sin (18 0^{\circ} - α) = 0, 77

cos α = 0, 64

cos (18 0^{\circ} - α) = - 0, 64

Góc α

Cùng tung độ, hoành độ trái dấu: sin giữ nguyên, côsin đổi dấu.

Góc phụ (đã học ở lớp 9, với $0^\circ \le \alpha \le 90^\circ$ ):

\sin(90^\circ - \alpha) = \cos\alpha, \quad \cos(90^\circ - \alpha) = \sin\alpha, \quad \tan(90^\circ - \alpha) = \cot\alpha, \quad \cot(90^\circ - \alpha) = \tan\alpha.

Tương tácGóc phụ: đối xứng qua đường y = x

α = 3 0^{\circ}, 9 0^{\circ} - α = 6 0^{\circ}

sin α = 0, 5

cos (9 0^{\circ} - α) = 0, 5

cos α = 0, 87 = sin (9 0^{\circ} - α)

Góc α

Kéo α và nhìn hai số sin α, cos α đổi chỗ cho nhau khi M ra M'. Thử α = 45°: M trùng M', hai giá trị bằng nhau.

5. Dùng máy tính cầm tay

Đặt máy ở chế độ độ (Deg) trước khi tính, nếu không kết quả sẽ sai hoàn toàn.
Tính $\cot\alpha$ bằng $1 \div \tan\alpha$ vì máy không có phím cot.
Khi tìm góc từ $\cos\alpha$ (phím $\cos^{-1}$ ), máy trả về đúng góc trong $[0^\circ; 180^\circ]$ . Khi tìm góc từ $\sin\alpha$ (phím $\sin^{-1}$ ), máy chỉ trả về góc nhọn; góc tù có cùng sin là $180^\circ$ trừ đi góc đó.

02Tóm tắt

Nội dung	Ghi nhớ
Định nghĩa	$M(x_0; y_0)$ trên nửa đường tròn đơn vị, $\widehat{xOM} = \alpha$ : $\sin\alpha = y_0$ , $\cos\alpha = x_0$ , $\tan\alpha = \dfrac{y_0}{x_0}$ , $\cot\alpha = \dfrac{x_0}{y_0}$
Điều kiện	$\tan$ cần $\alpha \ne 90^\circ$ ; $\cot$ cần $\alpha \ne 0^\circ, 180^\circ$
Phạm vi	$0 \le \sin\alpha \le 1$ , $-1 \le \cos\alpha \le 1$
Dấu	Góc tù: sin dương, ba giá trị còn lại âm
Góc bù	sin giữ nguyên; côsin, tang, côtang đổi dấu
Góc phụ	sin ↔ côsin, tang ↔ côtang

Tiếp theoPhương pháp →

Giá trị lượng giác của một góc từ 0° đến 180°

Mục tiêu

Khởi động

01Kiến thức cần nhớ

1. Nửa đường tròn đơn vị và định nghĩa

2. Phạm vi và dấu

3. Bảng giá trị các góc đặc biệt

4. Góc bù và góc phụ

5. Dùng máy tính cầm tay

02Tóm tắt