Ứng dụng của tích vô hướng

Trong tam giác $ABC$: $\overrightarrow{BC} = \overrightarrow{AC} - \overrightarrow{AB}$. Bình phương hai vế:

Đây là chứng minh thứ hai của định lí ở bài Định lí côsin, gọn và không cần xét góc nhọn hay tù.

Chứng minh công thức đầu: $\overrightarrow{MA} = \overrightarrow{MI} + \overrightarrow{IA}$ và $\overrightarrow{MB} = \overrightarrow{MI} + \overrightarrow{IB} = \overrightarrow{MI} - \overrightarrow{IA}$. Nhân lại theo hằng đẳng thức "tổng nhân hiệu": $MI^2 - IA^2$. Công thức thứ hai làm tương tự với bình phương.

Gọi $C'$, $D'$ là hình chiếu vuông góc của $C$, $D$ lên đường thẳng $AB$. Khi đó

Lí do: $\overrightarrow{CD} = \overrightarrow{CC'} + \overrightarrow{C'D'} + \overrightarrow{D'D}$, và hai vectơ $\overrightarrow{CC'}$, $\overrightarrow{D'D}$ vuông góc với $\overrightarrow{AB}$. Hệ quả: nếu $H$ là hình chiếu của $M$ lên $AB$ thì $\overrightarrow{AM}\cdot\overrightarrow{AB} = \overrightarrow{AH}\cdot\overrightarrow{AB}$.

Chứng minh: chèn $I$, $MA^2 = \left(\overrightarrow{MI} + \overrightarrow{IA}\right)^2 = MI^2 + 2\overrightarrow{MI}\cdot\overrightarrow{IA} + IA^2$. Nhân với hệ số rồi cộng, các số hạng bậc nhất gom thành $2\overrightarrow{MI}\cdot\left(\alpha\overrightarrow{IA} + \beta\overrightarrow{IB} + \gamma\overrightarrow{IC}\right) = 0$.

Trường hợp $\alpha = \beta = \gamma = 1$ ($I$ là trọng tâm $G$), và vì $GA^2 = \dfrac49 m_a^2$ (tương tự với $B$, $C$), công thức trung tuyến cho:

• $\overrightarrow{MA}\cdot\overrightarrow{MB} = MI^2 - \dfrac{AB^2}{4}$; $MA^2 + MB^2 = 2MI^2 + \dfrac{AB^2}{2}$.
• Vuông góc: phân tích theo cơ sở, khai triển, ra 0.
• $\overrightarrow{AM}\cdot\overrightarrow{AB} = k$: đường thẳng vuông góc $AB$.
• $\sum\alpha MA^2 = \left(\sum\alpha\right)MI^2 + \text{hằng số}$; nhỏ nhất tại $I$ khi tổng hệ số dương.