Ví dụ · Ứng dụng của tích vô hướng · Toán 10

Ví dụ 1 (đẳng thức)

Cho đoạn $AB$ , trung điểm $I$ , điểm $M$ bất kì. Chứng minh $MA^2 - MB^2 = 2\,\overrightarrow{MI}\cdot\overrightarrow{BA}$ .

Giải. $MA^2 - MB^2 = \left(\overrightarrow{MA} - \overrightarrow{MB}\right)\cdot\left(\overrightarrow{MA} + \overrightarrow{MB}\right) = \overrightarrow{BA}\cdot 2\overrightarrow{MI}$ .

Ví dụ 2 (vuông góc trong hình chữ nhật)

Hình chữ nhật $ABCD$ có $AD = a$ , $AB = a\sqrt2$ ; $M$ là trung điểm $AB$ . Chứng minh $AC \perp DM$ .

Hình chữ nhật ABCD với AB = AD·√2, M là trung điểm AB: AC vuông góc DM.

Giải. Đặt $\vec u = \overrightarrow{AB}$ , $\vec v = \overrightarrow{AD}$ : $\vec u^2 = 2a^2$ , $\vec v^2 = a^2$ , $\vec u\cdot\vec v = 0$ . Ta có $\overrightarrow{AC} = \vec u + \vec v$ và $\overrightarrow{DM} = \overrightarrow{AM} - \overrightarrow{AD} = \dfrac12\vec u - \vec v$ . Do đó

\overrightarrow{AC}\cdot\overrightarrow{DM} = \frac12\vec u^2 - \vec v^2 + \left(-1 + \frac12\right)\vec u\cdot\vec v = a^2 - a^2 + 0 = 0.

Bước 1 / 4

Đặt

u = A B, v = A D

:

u^{2} = 2 a^{2}, v^{2} = a^{2}, u \cdot v = 0

.

Ví dụ 3 (tìm chân đường cao)

Tam giác $ABC$ có $AB = 4$ , $AC = 6$ , $A = 60^\circ$ . Điểm $D$ trên $BC$ sao cho $AD \perp BC$ . Tính tỉ số $\dfrac{BD}{BC}$ .

Giải. Đặt $\vec u = \overrightarrow{AB}$ , $\vec v = \overrightarrow{AC}$ : $\vec u^2 = 16$ , $\vec v^2 = 36$ , $\vec u\cdot\vec v = 12$ . Viết $\overrightarrow{BD} = t\overrightarrow{BC}$ , khi đó $\overrightarrow{AD} = (1 - t)\vec u + t\vec v$ và

\overrightarrow{AD}\cdot\overrightarrow{BC} = \left[(1 - t)\vec u + t\vec v\right]\cdot(\vec v - \vec u) = (1 - t)(12 - 16) + t(36 - 12) = 28t - 4.

Cho bằng 0: $t = \dfrac17$ . Vậy $BD = \dfrac17 BC$ . (Với $BC = 2\sqrt7$ đã tính ở Ví dụ 3 bài Tích vô hướng, $BD = \dfrac{2\sqrt7}{7}$ .)

Ví dụ 4 (tập hợp: đường tròn, điểm, rỗng)

Đoạn $AB$ dài $6$ , trung điểm $I$ . Tìm tập hợp $M$ thoả $\overrightarrow{MA}\cdot\overrightarrow{MB} = k$ với a) $k = 16$ ; b) $k = -9$ ; c) $k = -10$ .

Giải. $MI^2 = k + \dfrac{36}{4} = k + 9$ . a) $MI^2 = 25$ : đường tròn tâm $I$ bán kính $5$ . b) $MI^2 = 0$ : chỉ có điểm $I$ . c) $MI^2 = -1 < 0$ : không có điểm nào.

Tương tácTập hợp MA·MB = k

M I^{2} = k + 9 = 25

Tập hợp: đường tròn tâm I

M A \cdot M B = 16

(M thuộc tập hợp)

k = 16

Đổi k: đường tròn tâm I co lại thành một điểm rồi biến mất. Kéo M để kiểm chứng.

Ví dụ 5 (tập hợp: đường thẳng)

Đoạn $AB$ dài $6$ . Tìm tập hợp $M$ thoả $\overrightarrow{AM}\cdot\overrightarrow{AB} = 18$ .

Giải. Gọi $H$ là hình chiếu của $M$ lên $AB$ : $\overrightarrow{AH}\cdot\overrightarrow{AB} = 18 > 0$ nên $H$ nằm trên tia $AB$ và $AH\cdot 6 = 18$ , $AH = 3$ . Vậy $H$ là trung điểm $AB$ , và tập hợp $M$ là đường thẳng qua trung điểm vuông góc với $AB$ , tức đường trung trực của $AB$ .

Ví dụ 6 (cực trị không trọng số)

Tam giác $ABC$ có $a = 5$ , $b = 6$ , $c = 7$ . Tìm giá trị nhỏ nhất của $MA^2 + MB^2 + MC^2$ .

Giải. Giá trị nhỏ nhất là $\dfrac{25 + 36 + 49}{3} = \dfrac{110}{3}$ , đạt khi $M$ là trọng tâm.

Ví dụ 7 (cực trị có trọng số)

Cho $A(1; 2)$ , $B(5; 2)$ , $C(1; 6)$ . Tìm điểm $M$ để $T = 2MA^2 + MB^2 + MC^2$ nhỏ nhất, và tìm giá trị đó.

Giải. $I = \dfrac{2A + B + C}{4} = \left(\dfrac{2 + 5 + 1}{4};\ \dfrac{4 + 2 + 6}{4}\right) = (2; 3)$ . Ta có $IA^2 = 1 + 1 = 2$ , $IB^2 = 9 + 1 = 10$ , $IC^2 = 1 + 9 = 10$ . Do đó

T = 4MI^2 + 2\cdot 2 + 10 + 10 = 4MI^2 + 24 \ge 24.

Giá trị nhỏ nhất là $24$ , đạt khi $M \equiv I(2; 3)$ .

Ứng dụng của tích vô hướng