Miền có trị tuyệt đối và diện tích · Toán 10

Miền nghiệm chứa trị tuyệt đối và diện tích

Hình thoi |x| + |y| ≤ r

Mục tiêu

Vẽ miền nghiệm của bất phương trình có dạng $\lvert x - x_0\rvert + \lvert y - y_0\rvert \le r$ và các dạng quen thuộc cùng họ.
Tính diện tích miền bằng cách nhận ra hình thoi (hình vuông), hình chữ nhật hoặc chia theo góc phần tư.
Biết phá trị tuyệt đối theo dấu để đưa về hệ bất phương trình bậc nhất.

Khởi động

Taxi trong thành phố ô bàn cờ chỉ đi theo hàng và cột, nên quãng đường từ gốc tới điểm $(x;\,y)$ là $\lvert x\rvert + \lvert y\rvert$ ô. Câu hỏi "những giao lộ nào cách trung tâm không quá $3$ ô đường" có đáp án là $\lvert x\rvert + \lvert y\rvert \le 3$ . Vùng đó có hình gì? Không phải hình tròn, mà là hình vuông xoay một góc $45^\circ$ . Bất phương trình có chứa trị tuyệt đối vẫn quy về bất phương trình bậc nhất, chỉ cần chia trường hợp.

01Kiến thức cần nhớ

1. Phá trị tuyệt đối theo dấu

$\lvert t\rvert = t$ nếu $t \ge 0$ , $\lvert t\rvert = -t$ nếu $t < 0$ . Với $\lvert x\rvert + \lvert y\rvert \le 3$ ta chia theo dấu của $x$ , $y$ (bốn góc phần tư):

Góc phần tư	Dấu	Bất phương trình bậc nhất
I	$x \ge 0$ , $y \ge 0$	$x + y \le 3$
II	$x \le 0$ , $y \ge 0$	$-x + y \le 3$
III	$x \le 0$ , $y \le 0$	$-x - y \le 3$
IV	$x \ge 0$ , $y \le 0$	$x - y \le 3$

Mỗi hàng là một hệ bậc nhất hai ẩn; miền nghiệm của bất phương trình ban đầu là hợp của bốn miền (không phải giao).

2. Tính đối xứng

Bất phương trình chỉ chứa $\lvert x\rvert$ và $\lvert y\rvert$ không đổi khi thay $x$ bởi $-x$ hay $y$ bởi $-y$ : miền nghiệm đối xứng qua cả hai trục. Chỉ cần vẽ phần ở góc phần tư thứ nhất rồi lấy đối xứng. Diện tích toàn miền gấp $4$ lần diện tích phần ở góc phần tư thứ nhất.

3. Hình thoi $\lvert x - x_0\rvert + \lvert y - y_0\rvert \le r$

Dạng tổng quát hơn: với $p, q > 0$ , $\lvert px\rvert + \lvert qy\rvert \le c$ ( $c > 0$ ) là hình thoi có đỉnh $\bigl(\pm\tfrac cp;\,0\bigr)$ và $\bigl(0;\,\pm\tfrac cq\bigr)$ , hai đường chéo $\tfrac{2c}p$ và $\tfrac{2c}q$ :

S = \frac12\cdot\frac{2c}p\cdot\frac{2c}q = \frac{2c^2}{pq}.

|x| + |y| ≤ 3

|x − 1| + |y + 2| ≤ 4

2 ≤ |x| + |y| ≤ 3

|2x| + |3y| ≤ 6

Bốn miền của mục 3: hình vuông |x| + |y| ≤ 3, hình vuông dời tâm |x − 1| + |y + 2| ≤ 4, vành vuông 2 ≤ |x| + |y| ≤ 3, hình thoi |2x| + |3y| ≤ 6. Nét đứt là hai đường chéo.

4. Vành vuông và dải

Vành: $r_1 \le \lvert x\rvert + \lvert y\rvert \le r_2$ ( $0 < r_1 < r_2$ ): phần giữa hai hình vuông cùng tâm. $S = 2r_2^2 - 2r_1^2$ .
Hình chữ nhật: $\lvert x\rvert \le a$ , $\lvert y\rvert \le b$ là hình chữ nhật $[-a;\,a]\times[-b;\,b]$ , $S = 4ab$ .
Hình chữ nhật nghiêng: $\lvert x - y\rvert \le m$ , $\lvert x + y\rvert \le n$ là hình chữ nhật có các cạnh nằm trên bốn đường $x - y = \pm m$ , $x + y = \pm n$ . Hai đường $x - y = m$ và $x - y = -m$ song song, cách nhau $\dfrac{2m}{\sqrt2}$ ; hai đường $x + y = \pm n$ cách nhau $\dfrac{2n}{\sqrt2}$ ; hai họ vuông góc nên $S = \dfrac{2m}{\sqrt2}\cdot\dfrac{2n}{\sqrt2} = 2mn$ .

Dấu bất đẳng thức nghiêm ngặt ( $<$ ) chỉ loại biên, diện tích không đổi.

Tương tácHình thoi

∣ x ∣ + ∣ y ∣ \leq 3

d_{1} = \frac{2 c}{p} = 6, d_{2} = \frac{2 c}{q} = 6

S = \frac{d _{1} d _{2}}{2} = \frac{2 c ^{2}}{pq} = 18

p = q = 1 : r = \frac{c}{p} = 3, S = 2 r^{2} = 18

c gấp đôi thì S gấp 4:

S (2 c) = 72

M (1; 1)

● M thuộc miền

x₀ = 0 y₀ = 0 p = 1 q = 1 c = 3

Kéo c (hay r khi p = q = 1) để thấy diện tích tăng theo bình phương: c gấp đôi thì S gấp bốn. Đổi p, q để hình vuông thành hình thoi, dời tâm bằng x₀, y₀, bật vành để khoét hình trong, kéo M để thử điểm. Tab bên cạnh là hình chữ nhật nghiêng.

02Tóm tắt

Miền	Hình	Diện tích
$\lvert x - x_0\rvert + \lvert y - y_0\rvert \le r$	hình vuông tâm $(x_0;\,y_0)$	$2r^2$
$\lvert px\rvert + \lvert qy\rvert \le c$	hình thoi	$\dfrac{2c^2}{pq}$
$r_1 \le \lvert x\rvert + \lvert y\rvert \le r_2$	vành vuông	$2(r_2^2 - r_1^2)$
$\lvert x\rvert \le a$ , $\lvert y\rvert \le b$	hình chữ nhật	$4ab$
$\lvert x - y\rvert \le m$ , $\lvert x + y\rvert \le n$	hình chữ nhật nghiêng	$2mn$

Phá dấu theo góc phần tư; miền chỉ chứa $\lvert x\rvert$ , $\lvert y\rvert$ thì đối xứng qua hai trục.
Dấu $<$ hay $\le$ không đổi diện tích.

Tiếp theoPhương pháp →