Bảng biến thiên và đọc đồ thị

Nhắc lại: hàm số $f$ đồng biến trên khoảng $K$ nếu với $x_1<x_2$ thuộc $K$ thì $f(x_1)<f(x_2)$ (đồ thị đi lên khi sang phải); nghịch biến nếu $f(x_1)>f(x_2)$ (đồ thị đi xuống).

Viết $f(x) = a(x-h)^2 + k$ với $h = -\dfrac{b}{2a}$, $k = -\dfrac{\Delta}{4a}$.

Vì sao? Lấy $a>0$ và $h\le x_1<x_2$. Khi đó $0\le x_1-h<x_2-h$ nên $(x_1-h)^2<(x_2-h)^2$; nhân với $a>0$ và cộng $k$ giữ nguyên chiều: $f(x_1)<f(x_2)$. Vậy $f$ đồng biến trên $[h;+\infty)$. Với $x_1<x_2\le h$ thì $0\le h-x_2<h-x_1$, suy ra $f(x_1)>f(x_2)$: nghịch biến. Ngoài ra $(x-h)^2\ge0$ nên $f(x)\ge k$, dấu bằng khi $x=h$: $k$ là giá trị nhỏ nhất. Trường hợp $a<0$ ngược lại.

Mũi tên đi xuống ghi hàm số nghịch biến, đi lên ghi đồng biến. Với $x_I=-\dfrac b{2a}$, $y_I=-\dfrac\Delta{4a}$:

$$\begin{array}{c|ccccc} x & -\infty & & x_I & & +\infty \\ \hline y & +\infty & \searrow & y_I & \nearrow & +\infty \end{array} \qquad (a>0)$$ $$\begin{array}{c|ccccc} x & -\infty & & x_I & & +\infty \\ \hline y & -\infty & \nearrow & y_I & \searrow & -\infty \end{array} \qquad (a<0)$$

Vì $f(x)=a(x-h)^2+k$:

• $a>0$: điểm càng xa trục $x=h$ thì $f$ càng lớn.
• $a<0$: điểm càng xa trục thì $f$ càng nhỏ.

Nên để so sánh $f(x_1)$ và $f(x_2)$, chỉ cần so $\lvert x_1-h\rvert$ và $\lvert x_2-h\rvert$, khỏi tính $f$.

Quan sát trên đồ thị	Kết luận
Bề lõm lên / xuống	$a>0$ / $a<0$
Cắt $Oy$ ở trên / dưới gốc	$c>0$ / $c<0$ (qua gốc: $c=0$)
Đỉnh nằm bên phải $Oy$ ($x_I>0$)	$-\dfrac b{2a}>0$, nghĩa là $a$, $b$ trái dấu
Đỉnh nằm bên trái $Oy$ ($x_I<0$)	$a$, $b$ cùng dấu
Đỉnh nằm trên $Oy$	$b=0$
Cắt $Ox$ hai điểm / tiếp xúc / không cắt	$\Delta>0$ / $\Delta=0$ / $\Delta<0$

	$a>0$	$a<0$
Bề lõm	lên	xuống
Nghịch biến	$(-\infty;x_I)$	$(x_I;+\infty)$
Đồng biến	$(x_I;+\infty)$	$(-\infty;x_I)$
Cực trị	giá trị nhỏ nhất $y_I$	giá trị lớn nhất $y_I$
Tập giá trị	$[y_I;+\infty)$	$(-\infty;y_I]$