Bất phương trình tích và thương · Toán 10

Bất phương trình tích và bất phương trình thương

Bảng xét dấu nhiều hàng

Mục tiêu

Biết dấu của một tích hay một thương được đọc từ dấu của từng nhân tử.
Lập bảng xét dấu nhiều hàng cho tích, thương của các nhị thức và tam thức bậc hai.
Giải bất phương trình tích, bất phương trình chứa ẩn ở mẫu bằng bảng xét dấu; loại đúng các giá trị làm mẫu bằng $0$ .
Nhận ra nghiệm bội chẵn không đổi dấu và xử lí đúng điểm đó.

Khởi động

Giải $\dfrac{x + 1}{x - 2} \le 2$ . Nhiều bạn nhân chéo thành $x + 1 \le 2(x - 2)$ rồi kết luận $x \ge 5$ . Thử $x = 0$ : $\dfrac{1}{-2} = -0{,}5 \le 2$ đúng, nhưng $0 < 5$ nên bị loại sai! Lỗi nằm ở chỗ nhân hai vế với $x - 2$ , mà $x - 2$ có lúc âm có lúc dương. Cách an toàn là chuyển hết về một vế, lập bảng xét dấu. Bài này dạy cách làm đó, và nó dùng lại đúng định lí dấu ở bài 2.

01Kiến thức cần nhớ

1. Dấu của tích, của thương

Tích (hoặc thương) hai số cùng dấu thì dương, trái dấu thì âm.
Tích nhiều nhân tử: cứ mỗi nhân tử âm là đổi dấu một lần. Số nhân tử âm chẵn thì tích dương, lẻ thì tích âm.
Thương $\dfrac{A}{B}$ cùng dấu với tích $A \cdot B$ (khi $B \ne 0$ ), và không xác định khi $B = 0$ .

Do đó, nếu $F(x) = \dfrac{A_1(x)A_2(x)\cdots}{B_1(x)B_2(x)\cdots}$ thì dấu của $F$ tại mỗi $x$ được ghép từ dấu từng nhân tử. Việc cần làm: biết dấu mỗi nhân tử trên từng khoảng.

2. Dấu của nhị thức bậc nhất

Nhắc lại: $px + q$ $(p \ne 0)$ có nghiệm $x_0 = -\dfrac{q}{p}$ ; cùng dấu với $p$ khi $x > x_0$ và trái dấu với $p$ khi $x < x_0$ . Với $p > 0$ ta có bảng

$x$	$-\infty$		$x_0$		$+\infty$
$px + q$		$-$	$0$	$+$

Dấu đổi một lần tại nghiệm.

3. Bảng xét dấu nhiều hàng

Mỗi nhân tử (nhị thức hoặc tam thức) là một hàng. Các bước dựng:

Tìm mọi điểm tới hạn: nghiệm của từng nhân tử ở tử và ở mẫu. Xếp tăng dần trên hàng $x$ .
Mỗi hàng ghi dấu của nhân tử trên từng khoảng (dùng bài 2 cho tam thức), ghi $0$ tại nghiệm của chính nó, ghi $\Vert$ (gạch đôi) tại nghiệm của mẫu.
Hàng cuối nhân dấu các hàng trên, cho dấu của $F(x)$ .

Bảng xét dấu của F(x) = (x − 3)(x + 2) / ((x − 1)(x + 1)). Đọc từng cột: đếm số hàng âm. Gạch đôi ‖ tại hai nghiệm của mẫu, số 0 tại hai nghiệm của tử; các khoảng thoả F ≥ 0 tô ở trục số dưới cùng.

Tương tácBảng xét dấu nhiều hàng

Tử:Mẫu:

F (x) = \frac{( x ^{2} - x - 6 )}{( x ^{2} - 1 )} \geq 0

S = (- \infty; - 2] \cup (- 1; 1) \cup [3; + \infty)

Nghiệm của mẫu (gạch đôi ‖) luôn bị loại; nghiệm của tử chỉ lấy khi có dấu “=”.

Đổi một nhân tử bằng danh sách chọn: điểm tới hạn tự xếp lại, từng hàng và hàng cuối đổi theo. Thử đưa x² + x + 1 vào (không có nghiệm, dấu không đổi) hoặc cùng một nhân tử vào tử và mẫu.

4. Nghiệm bội chẵn

Nhân tử $(x - c)^2$ (hoặc tam thức có nghiệm kép) luôn không âm, nên khi đi qua $c$ dấu của $F$ không đổi, nhưng tại $x = c$ thì nhân tử bằng $0$ . Hệ quả:

Với dấu ngặt, bỏ $x = c$ ra khỏi tập nghiệm.
Với dấu $\le 0$ : điểm $x = c$ luôn thoả (vì $F(c) = 0$ ), kể cả khi các khoảng kề nó không thoả. Đó là một nghiệm lẻ loi cần ghi thêm.

Tương tự, tam thức vô nghiệm có dấu không đổi trên $\mathbb{R}$ nên có thể "bỏ" đi (nhớ giữ chiều của bất đẳng thức nếu nó dương; đổi chiều nếu nó âm).

Tương tácNghiệm bội chẵn: dấu có đổi không?

y = (x - 1)^{2}

Số mũ chẵn: dấu không đổi qua nghiệm

Hai bên nghiệm cùng dấu (không âm); tại nghiệm bằng 0.

c 1

Chọn k = 1, 2, 3 và kéo c. Với k chẵn đồ thị chạm trục Ox rồi quay lại: hai bên cùng dấu, nhưng tại c giá trị vẫn bằng 0 (điểm lẻ loi khi giải ≤ 0).

5. Quy tắc vàng

02Tóm tắt

Dấu tích, thương = ghép dấu từng nhân tử; chuyển vế, quy đồng, phân tích thành nhân tử, lập bảng xét dấu.
Nghiệm đơn đổi dấu; nghiệm bội chẵn không đổi dấu nhưng cho giá trị $0$ .
Nghiệm của mẫu luôn bị loại; nghiệm của tử lấy khi có dấu "=".
Tam thức vô nghiệm có dấu cố định nên có thể bỏ khỏi bảng.

Tiếp theoPhương pháp →