Miền nghiệm của bất phương trình bậc nhất hai ẩn

Trong mặt phẳng toạ độ $Oxy$, mỗi cặp $(x_0;\,y_0)$ là toạ độ của một điểm $M(x_0;\,y_0)$. Vì vậy ta vẽ tập nghiệm của bất phương trình thành một tập hợp điểm, gọi là miền nghiệm.

Vì sao hai điểm cùng một nửa mặt phẳng thì cho cùng dấu? Giả sử $b > 0$ (trường hợp $b < 0$ làm tương tự; $b = 0$ thì $d$ là đường thẳng đứng, xem mục 3). Giữ nguyên $x_0$ và cho điểm đi lên: $y$ tăng thì $ax_0 + by - c$ tăng, vì $b > 0$. Nó bằng $0$ đúng một lần, tại điểm của $d$ có hoành độ $x_0$. Dưới điểm đó giá trị âm, trên điểm đó giá trị dương. Vậy phía trên $d$ là miền dương, phía dưới là miền âm; hai điểm cùng phía đều cùng dấu. (Để đổi dấu phải đi qua đúng đường $d$.)

Nét liền/nét đứt cho biết các điểm trên đường thẳng có được tính hay không. Quy ước tô màu: có sách tô (hoặc để sáng) miền nghiệm, có sách gạch bỏ phần không phải nghiệm. Trong chương này ta tô nhạt miền nghiệm; khi đọc đề hay sách khác, nhớ xem họ quy ước thế nào.

1. Vẽ bờ $d\colon ax + by = c$: tìm hai điểm của $d$ (thường là giao với hai trục toạ độ) rồi nối. Nét liền hay nét đứt tuỳ dấu.
2. Chọn một điểm thử $M_0$ không nằm trên $d$. Nếu $d$ không đi qua gốc, chọn $O(0;\,0)$ (tính nhanh nhất). Nếu $d$ đi qua gốc, chọn điểm khác như $(1;\,0)$ hoặc $(0;\,1)$.
3. Thay toạ độ $M_0$ vào bất phương trình. Nếu đúng: miền nghiệm là nửa mặt phẳng chứa $M_0$. Nếu sai: nửa mặt phẳng không chứa $M_0$.
4. Tô miền, ghi tên bất phương trình lên miền.

Hai trường hợp đặc biệt của bờ:

• $x = p$ là đường thẳng song song trục $Oy$ (đứng), đi qua điểm $(p;\,0)$. $x \ge p$ là nửa mặt phẳng bên phải, $x \le p$ bên trái.
• $y = q$ là đường thẳng song song trục $Ox$ (nằm ngang), đi qua $(0;\,q)$. $y \ge q$ là nửa mặt phẳng phía trên, $y \le q$ phía dưới.

• Bốn bước: vẽ bờ, thử điểm không thuộc bờ, chọn nửa mặt phẳng, tô.
• Bờ đi qua gốc: thử $(1;\,0)$ hoặc $(0;\,1)$.
• $x = p$: đường thẳng đứng; $y = q$: đường nằm ngang.
• Đọc ngược: tìm phương trình bờ, thử một điểm trong miền để chọn chiều.