Miền nghiệm của bất phương trình bậc nhất hai ẩn

Biểu diễn miền nghiệm của $x - 2y < 4$.

Giải. Bờ $d\colon x - 2y = 4$ đi qua $(4;\,0)$ (cho $y = 0$) và $(0;\,-2)$ (cho $x = 0$), vẽ nét đứt vì dấu "$<$". Thử $O(0;\,0)$: $0 < 4$ đúng. Vậy miền nghiệm là nửa mặt phẳng bờ $d$ chứa gốc $O$, không kể bờ.

Biểu diễn miền nghiệm của $3x + 2y \ge 6$.

Giải. Bờ $3x + 2y = 6$ qua $(2;\,0)$ và $(0;\,3)$, nét liền. Thử $O$: $0 \ge 6$ sai. Vậy miền nghiệm là nửa mặt phẳng bờ $d$ không chứa gốc (phía trên-phải), kể cả bờ. Kiểm tra: điểm $(2;\,2)$ trong miền: $6 + 4 = 10 \ge 6$ đúng.

Biểu diễn miền nghiệm của $y \le 2x$.

Giải. Bờ $y = 2x$ đi qua $O$ và $(1;\,2)$, nét liền. Không thể thử $O$ (nằm trên bờ). Thử $(1;\,0)$: $0 \le 2$ đúng. Miền nghiệm là nửa mặt phẳng bờ $d$ chứa $(1;\,0)$, tức phía dưới-phải đường thẳng, kể cả bờ.

Nhận xét: nếu viết lại $2x - y \ge 0$ rồi thử $O$ thì $0 \ge 0$ đúng, nhưng $O$ nằm trên bờ nên không cho biết phía nào. Đây là lỗi hay gặp ở các bờ đi qua gốc.

Biểu diễn miền nghiệm của $x \ge -1$ và của $y < 3$.

Giải. $x \ge -1$: bờ là đường thẳng đứng $x = -1$ (nét liền), thử $O$: $0 \ge -1$ đúng, nên lấy nửa mặt phẳng chứa $O$, tức bên phải bờ. $y < 3$: bờ là đường nằm ngang $y = 3$ (nét đứt), thử $O$: $0 < 3$ đúng, lấy phần phía dưới bờ.

Biểu diễn miền nghiệm của $-x + 3y > 6$ và kiểm lại bằng cách rút $y$.

Giải. Bờ $-x + 3y = 6$ qua $(-6;\,0)$ và $(0;\,2)$, nét đứt. Thử $O$: $0 > 6$ sai, nên lấy phần không chứa $O$. Kiểm: $3y > x + 6 \iff y > \dfrac{x+6}{3}$, tức các điểm nằm phía trên bờ. Điểm $O$ ($y = 0$, bờ ở $y = 2$) nằm dưới bờ: đúng là không thuộc miền nghiệm.

Nửa mặt phẳng tô nhạt có bờ nét liền đi qua $(2;\,0)$ và $(0;\,3)$, chứa gốc $O$. Viết bất phương trình tương ứng.

Giải. Bờ: $\dfrac x2 + \dfrac y3 = 1$, nhân $6$ được $3x + 2y = 6$. Nét liền nên có dấu "$=$". Thử gốc, nằm trong miền: $3\cdot 0 + 2\cdot 0 = 0 < 6$. Vậy bất phương trình là $3x + 2y \le 6$. (Hình cho thấy nó đối xứng với ví dụ 2: cùng bờ, miền ngược phía.)