Cô lập tham số, hệ có tham số · Toán 10

Cô lập tham số trên một đoạn và hệ bất phương trình có tham số

Cực trị trên một đoạn

Mục tiêu

Phân biệt "nghiệm đúng với mọi $x$ thuộc một đoạn" và "có nghiệm trên đoạn đó", và đổi chúng thành bài toán giá trị lớn nhất, nhỏ nhất.
Cô lập tham số $m$ để đưa bài toán về so sánh $m$ với $g(x)$ , rồi tìm giá trị lớn nhất hoặc nhỏ nhất của $g$ trên đoạn.
Phân biệt đoạn đóng và khoảng mở khi giá trị lớn nhất hoặc nhỏ nhất không đạt được.
Tìm tham số để một hệ bất phương trình bậc hai có nghiệm bằng cách chia trường hợp theo vị trí các nghiệm.

Khởi động

Ở bài 7, "với mọi $x \in \mathbb{R}$ " là yêu cầu mạnh: cả đường thẳng thực. Nhưng bài toán thực tế thường chỉ quan tâm một đoạn, ví dụ $x \in [0; 1]$ là thời gian hay tỉ lệ. Xét $x^2 - 2x + m \le 0$ chỉ trên $[0; 1]$ . Dùng $\Delta$ như bài 7 là quá mạnh (vì ta không cần đúng ngoài đoạn). Cách tốt hơn: tách $m$ ra một vế, được $m \le 2x - x^2$ , rồi hỏi $m$ nhỏ hơn hay bằng mọi giá trị của vế phải trên đoạn, tức nhỏ hơn hay bằng giá trị nhỏ nhất của nó. Khi $m$ đã đứng một mình, bài toán trở thành bài tìm cực trị của một hàm bậc hai trên một đoạn.

01Kiến thức cần nhớ

1. Cô lập tham số

Khi tham số $m$ xuất hiện bậc nhất trong bất phương trình (chẳng hạn $m$ chỉ có ở hạng tử $m$ , hoặc $m \cdot h(x)$ với $h(x)$ có dấu cố định trên đoạn), ta chuyển về dạng

m \ge g(x) \quad \text{hoặc} \quad m \le g(x),

trong đó $g(x)$ không chứa $m$ . Nếu chia cho $h(x)$ , nhớ xét dấu $h(x)$ trên đoạn: $h > 0$ giữ chiều, $h < 0$ đổi chiều, $h = 0$ phải xét riêng.

2. Bảng chuyển đổi (quan trọng nhất của bài)

Cho $D$ là đoạn (hoặc khoảng) của $x$ và $g$ xác định trên $D$ .

Yêu cầu	Điều kiện trên $m$
$m \ge g(x)$ với mọi $x \in D$	$m \ge \max_D g$
$m \le g(x)$ với mọi $x \in D$	$m \le \min_D g$
$m \ge g(x)$ có nghiệm $x \in D$	$m \ge \min_D g$
$m \le g(x)$ có nghiệm $x \in D$	$m \le \max_D g$

Mẹo nhớ: "với mọi" đòi hỏi $m$ thắng mọi giá trị nên so với giá trị khó nhất (lớn nhất khi $m \ge g$ , nhỏ nhất khi $m \le g$ ). "Có nghiệm" chỉ cần thắng một giá trị nên so với giá trị dễ nhất.

Với dấu ngặt, các điều kiện này đổi thành dấu ngặt chỉ khi giá trị lớn nhất/nhỏ nhất đạt được tại một điểm của $D$ (xem mục 4).

3. Giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của hàm bậc hai trên đoạn

Cho $g(x) = px^2 + qx + r$ $(p \ne 0)$ trên đoạn $[u; v]$ . Đỉnh parabol ở $x_0 = -\dfrac{q}{2p}$ .

Nếu $x_0 \notin [u; v]$ : $g$ đơn điệu trên đoạn, giá trị lớn nhất và nhỏ nhất ở hai đầu mút $g(u)$ , $g(v)$ .
Nếu $x_0 \in [u; v]$ : một trong hai cực trị là $g(x_0)$ (lớn nhất khi $p < 0$ , nhỏ nhất khi $p > 0$ ), cực trị kia ở một đầu mút; so sánh $g(u)$ và $g(v)$ .

Tóm lại: so sánh $g$ tại hai đầu mút và tại đỉnh (nếu đỉnh thuộc đoạn). (Chi tiết về đỉnh và bảng biến thiên có ở chương Hàm số bậc hai.)

Tương tácĐường ngang y = m cắt đồ thị g(x)

x^{2} - 4 x + m < 0 ⟺ m < g (x) = 4 x - x^{2}, x \in [1; 3]

m = 3

min g = 3 (đ ạt tại x = 1)

max g = 4 (đ ạt tại x = 2)

SAI với mọi x ∈ D

m < 3

CÓ nghiệm x ∈ D

m < 4

m 3

Kéo chấm cyan bên phải (hoặc thanh m): phần đoạn D mà m so với g(x) thoả được tô đậm trên Ox. «Với mọi» đúng khi D được tô kín; «có nghiệm» đúng khi tô được ít nhất một điểm. Chuyển đoạn đóng sang khoảng mở ở Ví dụ 2 và để ý m = 3: chỉ khác nhau đúng một giá trị. Đổi dấu m ≤, <, ≥, > để thử cả bốn dòng của bảng chuyển đổi.

4. Đoạn đóng và khoảng mở

Nếu $D = [u; v]$ (đoạn đóng) thì $\max$ , $\min$ của hàm liên tục bậc hai luôn tồn tại và đạt được. Nếu $D = (u; v)$ (khoảng mở) mà giá trị lớn nhất hoặc nhỏ nhất chỉ đạt ở đầu mút (không thuộc $D$ ), thì giá trị đó chỉ là cận (không đạt), và dấu ngặt/không ngặt thay đổi. Ví dụ ở Ví dụ 2 dưới đây.

5. Hệ bất phương trình có tham số: chia trường hợp theo vị trí các nghiệm

Với hệ có một bất phương trình không chứa $m$ (cho tập $S_1$ ) và một bất phương trình chứa $m$ (cho tập $S_2(m)$ ), hệ có nghiệm $\iff S_1 \cap S_2(m) \ne \varnothing$ . Nếu $S_2$ là bất phương trình bậc hai có nghiệm phụ thuộc $m$ như $(x - 1)(x - m)$ , hãy chia trường hợp theo thứ tự hai nghiệm ( $m < 1$ , $m = 1$ , $m > 1$ ), vẽ trục số và xem phần chung.

Tương tácHệ có tham số: S₁ ∩ S₂(m)

m = 1, 5 (m > 1)

S_{1} = [1; 2]

S_{2} = (- \infty; 1) \cup (1, 5; + \infty)

S_{1} \cap S_{2} = (1, 5; 2]

Hệ có nghiệm

m 1,5

Kéo m qua 1 và qua 2. Với m < 1 hoặc m = 1: giao là (1; 2]. Với 1 < m < 2: giao là (m; 2]. Từ m = 2 trở đi, giao rỗng. Hợp ba trường hợp: m < 2.

02Tóm tắt

Cô lập $m$ : $m \ge g(x)$ hoặc $m \le g(x)$ ; chú ý dấu khi chia.
Với mọi $x \in D$ : $m \ge \max g$ hoặc $m \le \min g$ . Có nghiệm: $m \ge \min g$ hoặc $m \le \max g$ .
$\max$ , $\min$ của hàm bậc hai trên đoạn: so sánh hai đầu mút và đỉnh nếu đỉnh thuộc đoạn. Khoảng mở: kiểm riêng giá trị biên.
Hệ có tham số: giải phần không chứa $m$ , chia trường hợp theo thứ tự các nghiệm chứa $m$ , lấy hợp các $m$ thoả.

03Mở rộng

Vì sao không dùng $\Delta$ như bài 7? Điều kiện $\Delta < 0$ bảo đảm $f(x) > 0$ trên toàn $\mathbb{R}$ , điều kiện này đủ nhưng không cần cho một đoạn. Ví dụ $x^2 - 2x + m \le 0$ trên $[0; 1]$ chỉ cần $m \le 0$ ; còn "với mọi $x \in \mathbb{R}$ " thì bất phương trình này không bao giờ thoả với bất kì $m$ nào (vì $a = 1 > 0$ , $f \to +\infty$ ). Cô lập tham số phản ánh đúng miền cần xét.

Tiếp theoPhương pháp →