Cô lập tham số trên một đoạn và hệ bất phương trình có tham số

Cho $x^2 - 2x + m \le 0$. (a) Tìm $m$ để bất phương trình nghiệm đúng với mọi $x \in [0; 1]$. (b) Tìm $m$ để nó có nghiệm trong $[0; 1]$.

Giải. Cô lập: $m \le 2x - x^2 =: g(x)$. Hàm $g(x) = -x^2 + 2x$ có đỉnh tại $x = 1$ (thuộc đoạn, ngay đầu mút phải). Trên $[0; 1]$, $g$ đồng biến: $g(0) = 0$, $g(1) = 1$. Vậy $\min g = 0$, $\max g = 1$.

(a) "Với mọi $x$": $m \le \min g = 0$. Đáp số $m \le 0$. Kiểm: $m = 0$ cho $x^2 - 2x = x(x - 2) \le 0$ trên $[0; 1]$ ✓. $m = 0{,}5$: tại $x = 0$ cho $0{,}5 \le 0$ sai ✓.

(b) "Có nghiệm": $m \le \max g = 1$. Kiểm: $m = 1$ thì $x = 1$ cho $1 - 2 + 1 = 0 \le 0$ ✓.

Cho $x^2 - 4x + m < 0$. (a) Tìm $m$ để nghiệm đúng với mọi $x \in [1; 3]$. (b) Tìm $m$ để nghiệm đúng với mọi $x \in (1; 3)$.

Giải. Cô lập: $m < 4x - x^2 =: g(x)$. Đỉnh tại $x = 2 \in [1; 3]$, $g(2) = 4$ là giá trị lớn nhất; $g(1) = g(3) = 3$.

(a) Đoạn đóng $[1; 3]$: $\min g = 3$ đạt được (tại $x = 1$ và $x = 3$). Cần $m < g(x)$ với mọi $x \in [1; 3]$, nên $m < 3$. Với $m = 3$, tại $x = 1$: $1 - 4 + 3 = 0 \not< 0$, không thoả. Đáp số $m < 3$.

(b) Khoảng mở $(1; 3)$: $g(x) > 3$ với mọi $x \in (1; 3)$ nhưng $g$ tiến tới $3$ mà không đạt $3$ (vì $1$, $3$ không thuộc khoảng). Với $m = 3$ thì $x^2 - 4x + 3 = (x - 1)(x - 3) < 0$ đúng trên $(1; 3)$ ✓. Với $m > 3$ thì chọn $x$ gần $1$ làm $g(x) < m$, không thoả. Đáp số $m \le 3$.

Hai câu cùng bất phương trình nhưng đáp số khác nhau ở đúng một điểm $m = 3$: đó là lí do phải xem đầu mút có thuộc $D$ hay không.

Cho $x^2 - 6x + m \le 0$. (a) Tìm $m$ để nghiệm đúng với mọi $x \in [0; 4]$. (b) Tìm $m$ để có nghiệm $x \in [0; 4]$.

Giải. Cô lập: $m \le 6x - x^2 =: g(x)$. Đỉnh $x = 3 \in [0; 4]$, $g(3) = 9$ lớn nhất. $g(0) = 0$, $g(4) = 8$ nên $\min g = 0$ (tại $x = 0$), $\max g = 9$.

(a) $m \le \min g = 0$.

(b) $m \le \max g = 9$. Kiểm: $m = 9$ cho $x = 3$: $9 - 18 + 9 = 0 \le 0$ ✓.

Tìm $m$ để $x^2 + mx + 4 \ge 0$ với mọi $x \in [1; 4]$.

Giải. Trên $[1; 4]$, $x > 0$. Chia cho $x$ (giữ chiều): $x + m + \dfrac{4}{x} \ge 0$, tức $-m \le x + \dfrac4x$. Hàm $g(x) = x + \dfrac{4}{x}$ trên $[1; 4]$ có $g(1) = 5$, $g(2) = 4$, $g(4) = 5$. Vì $x + \dfrac4x \ge 4$ (tương đương $(x-2)^2 \ge 0$, nhân $x>0$) với dấu "=" tại $x = 2$ nên $\min g = 4$. Vậy $-m \le 4$, tức $m \ge -4$. Kiểm: $m = -4$ cho $x^2 - 4x + 4 = (x - 2)^2 \ge 0$ ✓.

(Hàm $x + \dfrac4x$ không phải bậc hai; ta tìm min bằng bất đẳng thức $(x - 2)^2 \ge 0$ cho $x > 0$.)

Tìm $m$ để hệ $\begin{cases} x^2 - 3x + 2 \le 0 \\ x^2 - (m + 1)x + m > 0 \end{cases}$ có nghiệm.

Giải. Bất phương trình đầu: nghiệm $1$, $2$ nên $S_1 = [1; 2]$. Bất phương trình hai: $x^2 - (m + 1)x + m = (x - 1)(x - m) > 0$.

• $m > 1$: $S_2 = (-\infty; 1) \cup (m; +\infty)$. Giao với $[1; 2]$ là $(m; 2]$, khác rỗng khi $m < 2$. Vậy $1 < m < 2$ thoả.
• $m = 1$: $(x - 1)^2 > 0$, $S_2 = \mathbb{R} \setminus \{1\}$. Giao với $[1; 2]$ là $(1; 2]$, khác rỗng. Nhận.
• $m < 1$: $S_2 = (-\infty; m) \cup (1; +\infty)$. Giao với $[1; 2]$ là $(1; 2]$, khác rỗng. Nhận.

Hợp: $m < 2$, tức $m \in (-\infty; 2)$. Kiểm: $m = 2$ cho $S_2 = (-\infty; 1) \cup (2; +\infty)$, giao với $[1; 2]$ là rỗng ✓ (loại).

Với hệ ở Ví dụ 5, tìm $m$ để bất phương trình thứ hai nghiệm đúng với mọi $x \in [1; 2]$ nếu đổi thành không ngặt: $x^2 - (m + 1)x + m \ge 0$.

Giải. $(x - 1)(x - m) \ge 0$ với mọi $x \in [1; 2]$. Tại $x = 1$ luôn bằng $0$ nên thoả. Với $x \in (1; 2]$: $x - 1 > 0$ nên cần $x - m \ge 0$, tức $m \le x$ với mọi $x \in (1; 2]$. Giá trị $x$ gần $1$ tuỳ ý, nên $m \le 1$ (với $m = 1$ thì $x - 1 > 0$ thoả). Đáp số $m \le 1$.