Điều kiện xác định và phương trình √f(x) = √g(x)

Điều kiện xác định (ĐKXĐ) của một phương trình là tập các giá trị $x$ để mọi biểu thức trong phương trình đều có nghĩa. Với phương trình chứa căn, ĐKXĐ là hệ các bất đẳng thức "biểu thức dưới mỗi căn $\ge 0$". Khi biểu thức dưới căn là tam thức bậc hai, ta xét dấu nó bằng định lí về dấu ở chương trước.

Ví dụ: $\sqrt{x^2 - 5x + 6}$ có nghĩa khi $x^2 - 5x + 6 \ge 0$. Tam thức có hai nghiệm $2$ và $3$, $a = 1 > 0$, nên "ngoài cùng dấu $a$": $x \le 2$ hoặc $x \ge 3$.

Hai phương trình tương đương nếu có cùng tập nghiệm. Biến đổi hệ quả là biến đổi mà mọi nghiệm của phương trình cũ vẫn là nghiệm của phương trình mới (phương trình mới có thể thừa nghiệm).

Phép bình phương hai vế là một biến đổi hệ quả:

Ví dụ: từ $x = 2$ suy ra $x^2 = 4$, nhưng $x^2 = 4$ còn có nghiệm $x = -2$. Nghiệm thừa như vậy gọi là nghiệm ngoại lai. Vì vậy sau khi bình phương, ta bắt buộc phải kiểm tra (thử lại hoặc đối chiếu điều kiện). Chỉ khi biết cả hai vế cùng không âm thì bình phương mới là phép biến đổi tương đương.

Vì sao. Nếu $x_0$ là nghiệm, thì vế phải có nghĩa nên $g(x_0) \ge 0$, và bình phương hai vế (hệ quả) cho $f(x_0) = g(x_0)$. Ngược lại, nếu $f(x_0) = g(x_0)$ và $g(x_0) \ge 0$ thì $f(x_0) = g(x_0) \ge 0$, nên cả hai căn có nghĩa và bằng nhau.

Hai cách kết luận. Sách giáo khoa thường dạy "bình phương, giải, thay nghiệm vào phương trình đầu để thử lại". Có thể thay bằng "đối chiếu điều kiện $g(x) \ge 0$". Hai cách cho cùng kết quả:

• Nghiệm đẹp (nguyên, hữu tỉ): thử lại trực tiếp rất nhanh.
• Nghiệm có căn (như $\dfrac{1 \pm \sqrt5}{2}$): dùng điều kiện $g(x) \ge 0$ nhanh và an toàn hơn, vì thay nghiệm vô tỉ vào căn thức dễ nhầm.

Nghiệm của $\sqrt{f(x)} = \sqrt{g(x)}$ là hoành độ giao điểm của hai đường $y = \sqrt{f(x)}$ và $y = \sqrt{g(x)}$. Bình phương hai vế tương ứng với việc thay hai đường đó bằng hai parabol $y = f(x)$ và $y = g(x)$ (đồ thị "đầy đủ"). Hai parabol có thể cắt nhau tại điểm dưới trục hoành; điểm đó không thuộc đồ thị của căn thức (căn thức chỉ nhận giá trị $\ge 0$), nên không cho nghiệm. Điều kiện $g(x) \ge 0$ chính là "giao điểm phải nằm trên hoặc chạm trục $Ox$".

• $\sqrt{A}$ có nghĩa $\iff A \ge 0$; ĐKXĐ của phương trình là hệ các điều kiện đó.
• Bình phương là biến đổi hệ quả: có thể sinh nghiệm ngoại lai, nên phải kiểm.
• $\sqrt{f} = \sqrt{g} \iff f = g$ và $g \ge 0$ (chỉ kiểm một biểu thức).
• Quy trình: bình phương, giải bậc hai, đối chiếu điều kiện hoặc thử lại, kết luận.
• Hình học: giao điểm của hai đường phải nằm trên hoặc chạm trục $Ox$.