Tổng và hiệu của hai vectơ

01Kiến thức cần nhớ

1. Tổng hai vectơ

Muốn cộng $\vec a$ và $\vec b$ : lấy điểm $A$ tuỳ ý, đặt $\overrightarrow{AB} = \vec a$ , rồi tiếp nối từ điểm cuối $B$ đặt $\overrightarrow{BC} = \vec b$ . Vectơ $\overrightarrow{AC}$ là tổng $\vec a + \vec b$ (kết quả không phụ thuộc cách chọn $A$ ).

Trái: quy tắc ba điểm AB + BC = AC. Phải: quy tắc hình bình hành AB + AD = AC.

Tính chất: giao hoán $\vec a + \vec b = \vec b + \vec a$ ; kết hợp $(\vec a + \vec b) + \vec c = \vec a + (\vec b + \vec c)$ ; $\vec a + \vec 0 = \vec a$ .

Quy tắc ba điểm mở rộng cho chuỗi nhiều điểm: $\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{BC} + \overrightarrow{CD} + \overrightarrow{DE} = \overrightarrow{AE}$ (các điểm "nối đuôi").

Tương tácChuỗi vectơ nối đuôi

A B = (2; 3)

B C = (2; - 1, 5)

C D = (2; 2)

D E = (2; - 2, 5)

A E = (8; 1)

○ Chuỗi khép kín: tổng bằng vectơ-không

Cộng toạ đ ộ: 8; 1

Kéo B, C, D, E: tổng luôn là vectơ từ A đến E. Bấm “Khép kín” để đưa E về A và thấy tổng bằng vectơ-không.

2. Hiệu hai vectơ

Vectơ đối của $\vec b$ là $-\vec b$ , và $\vec b + (-\vec b) = \vec 0$ . Hiệu được định nghĩa: $\vec a - \vec b = \vec a + (-\vec b)$ .

3. Trung điểm và trọng tâm

$I$ là trung điểm của đoạn $AB$ $\iff \overrightarrow{IA} + \overrightarrow{IB} = \vec 0$ .
$G$ là trọng tâm tam giác $ABC$ $\iff \overrightarrow{GA} + \overrightarrow{GB} + \overrightarrow{GC} = \vec 0$ .

Lí do cho trọng tâm: gọi $M$ là trung điểm $BC$ , $D$ là điểm đối xứng với $G$ qua $M$ . Khi đó $GBDC$ là hình bình hành nên $\overrightarrow{GB} + \overrightarrow{GC} = \overrightarrow{GD}$ . Vì $AG = 2GM = GD$ và $A$ , $D$ nằm hai phía của $G$ trên đường thẳng $AM$ , ta có $\overrightarrow{GD} = -\overrightarrow{GA}$ .

G là trọng tâm, D đối xứng với G qua M: GBDC là hình bình hành.

4. Ứng dụng: hợp lực

Nhiều lực cùng tác động lên một vật tương đương với một lực duy nhất là tổng của chúng (hợp lực). Vật đứng cân bằng khi tổng các lực bằng $\vec 0$ .

Tương tácHợp lực và độ dài của tổng

∣ a ∣ = 3, 2, ∣ b ∣ = 2, 2

∣ a + b ∣ = 3, 9

∣ a ∣ + ∣ b ∣ = 5, 4

∣ a - b ∣ = 2, 3

|a + b| < |a| + |b|

Kéo đầu mút của a và b. Chỉ khi cùng hướng thì |a + b| mới bằng |a| + |b|.

Tương tácBa lực cân bằng

F_{1} = (3; 1), ∣ F_{1} ∣ = 3, 16

F_{2} = (- 1; 2, 5), ∣ F_{2} ∣ = 2, 69

F_{3} = (- 1; - 2), ∣ F_{3} ∣ = 2, 24

F_{1} + F_{2} + F_{3} = (1; 1, 5)

○ Cân bằng: tổng bằng vectơ-không

Kéo ba đầu mút sao cho tổng bằng vectơ-không; thử nút đặt F₃ rồi kéo F₁ và để ý F₃ phải đổi theo thế nào.

02Tóm tắt

Quy tắc	Công thức
Ba điểm	$\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{BC} = \overrightarrow{AC}$
Hình bình hành $ABCD$	$\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AD} = \overrightarrow{AC}$
Hiệu	$\overrightarrow{OB} - \overrightarrow{OA} = \overrightarrow{AB}$
Trung điểm $I$ của $AB$	$\overrightarrow{IA} + \overrightarrow{IB} = \vec 0$
Trọng tâm $G$	$\overrightarrow{GA} + \overrightarrow{GB} + \overrightarrow{GC} = \vec 0$
Hợp lực, góc $\theta$	$F^2 = F_1^2 + F_2^2 + 2F_1F_2\cos\theta$

Tiếp theoPhương pháp →

Mục tiêu

Khởi động