Bất phương trình bậc hai một ẩn

Từ đồ thị sang tập nghiệm

Mục tiêu

Nhận biết bất phương trình bậc hai một ẩn, nghiệm và tập nghiệm của nó.
Giải bất phương trình bậc hai bằng hai cách: xét dấu tam thức và đọc đồ thị parabol.
Viết đúng tập nghiệm dưới dạng khoảng, đoạn, hợp khoảng; phân biệt dấu ngặt và không ngặt (đầu mút).
Giải hệ bất phương trình có chứa bất phương trình bậc hai bằng cách lấy giao các tập nghiệm.

Khởi động

Ở bài 2, ta đọc dấu của $f(x) = x^2 - 3x + 2$ : dương ở ngoài đoạn $[1; 2]$ và âm ở trong. Câu hỏi "giá trị nào của $x$ làm $x^2 - 3x + 2 < 0$ ?" khi đó có đáp án ngay: $1 < x < 2$ . Tìm các giá trị $x$ thoả một bất đẳng thức chứa tam thức chính là giải bất phương trình bậc hai. Về mặt hình học: tìm những $x$ mà parabol nằm dưới trục $Ox$ , rồi "chiếu xuống" trục số.

01Kiến thức cần nhớ

1. Bất phương trình bậc hai một ẩn

Các bất phương trình như $x^2 \ge 5x - 6$ hoặc $(x+1)(x-3) > 2x - 3$ chưa ở dạng trên; phải chuyển vế, thu gọn để một vế là $0$ trước rồi mới xét dấu.

2. Giải bằng cách xét dấu tam thức

Bản chất: bất phương trình $f(x) > 0$ hỏi " $f(x)$ dương ở đâu?". Bài 2 đã trả lời. Ta chỉ cần đọc đúng khoảng. Với $a > 0$ :

Bất phương trình	$\Delta < 0$	$\Delta = 0$ (nghiệm kép $x_0$ )	$\Delta > 0$ ( $x_1 < x_2$ )
$f(x) > 0$	$\mathbb{R}$	$\mathbb{R} \setminus \{x_0\}$	$(-\infty; x_1) \cup (x_2; +\infty)$
$f(x) \ge 0$	$\mathbb{R}$	$\mathbb{R}$	$(-\infty; x_1] \cup [x_2; +\infty)$
$f(x) < 0$	$\varnothing$	$\varnothing$	$(x_1; x_2)$
$f(x) \le 0$	$\varnothing$	$\{x_0\}$	$[x_1; x_2]$

Với $a < 0$ hãy nhân hai vế với $-1$ (đổi chiều bất đẳng thức) để về $a > 0$ , hoặc đọc trực tiếp từ bảng xét dấu.

3. Giải bằng đồ thị

Vẽ phác parabol $y = ax^2 + bx + c$ (chỉ cần biết bề lõm và giao điểm với $Ox$ ). Nghiệm của $f(x) > 0$ là những $x$ mà đồ thị nằm trên $Ox$ ; nghiệm của $f(x) < 0$ là những $x$ mà đồ thị nằm dưới $Ox$ . Chiếu phần đồ thị đó xuống trục hoành, ta được tập nghiệm. Với dấu " $\ge$ ", " $\le$ ", thêm điểm chung với $Ox$ .

Chiếu xuống trục hoành: phần parabol dưới Ox (cam) cho đoạn [−1; 4] với hai đầu đặc; hai nhánh trên Ox (xanh) cho (−∞; −1) và (4; +∞) với đầu rỗng.

Tương tácChiếu tập nghiệm xuống trục số

0, 5 x^{2} - x - 1, 5 \leq 0

a = 0, 5, Δ = 4

S = [- 1; 3]

đầu mút đặc nếu có dấu “=”, rỗng nếu ngặt

a 0,5b −1c −1,5

12 ô khi a > 0 (ô đang đúng sáng lên)
	Δ < 0	Δ = 0	Δ > 0
$f (x) > 0$	$R$	$R ∖ {x_{0}}$	$(- \infty; x_{1}) \cup (x_{2}; + \infty)$
$f (x) \geq 0$	$R$	$R$	$(- \infty; x_{1}] \cup [x_{2}; + \infty)$
$f (x) < 0$	$\emptyset$	$\emptyset$	$(x_{1}; x_{2})$
$f (x) \leq 0$	$\emptyset$	${x_{0}}$	$[x_{1}; x_{2}]$

Chọn một trong bốn dấu rồi kéo đỉnh parabol (hoặc thanh trượt): dải cyan là phần đồ thị thoả bất phương trình, chiếu xuống thành tập nghiệm. Thử nghiệm kép và vô nghiệm, quan sát ô sáng trong bảng 12 ô.

4. Hệ bất phương trình

Một hệ bất phương trình gồm nhiều bất phương trình cùng ẩn; nghiệm của hệ là số thoả đồng thời tất cả. Do đó tập nghiệm của hệ là giao các tập nghiệm. Vẽ mỗi tập nghiệm lên một trục số (mỗi trục một dòng, cùng chia độ) rồi lấy phần chung; chú ý đầu mút: một đầu mút chỉ thuộc giao nếu thuộc mọi tập.

Tương tácGiao hai tập nghiệm

S_{1} = [1; 4]

S_{2} = (- 1; 3)

S_{1} \cap S_{2} = [1; 3)

Một đầu mút thuộc giao khi nó thuộc cả hai tập.

Kéo bốn đầu mút, bấm nút để đổi đầu đặc hay rỗng. Thử cho S₁ và S₂ chỉ chạm nhau tại một đầu: giao là một điểm khi cả hai đầu đặc, rỗng khi một đầu rỗng.

02Tóm tắt

Bất phương trình bậc hai: chuyển về $f(x) \gtrless 0$ , $a \ne 0$ .
Giải bằng xét dấu (bảng) hoặc đồ thị (phần parabol trên/dưới $Ox$ chiếu xuống trục).
Chú ý nghiệm kép và đầu mút; $\Delta < 0$ cho "luôn đúng" hoặc "vô nghiệm" tuỳ dấu $a$ .
Hệ bất phương trình: giải từng cái, lấy giao các tập nghiệm.

Tiếp theoPhương pháp →