Bất phương trình bậc hai một ẩn

Giải $x^2 - 3x - 4 \le 0$.

Giải. $\Delta = 9 + 16 = 25$, nghiệm $x = -1$ và $x = 4$, $a = 1 > 0$. $f \le 0$ trong đoạn hai nghiệm, lấy cả hai nghiệm: $S = [-1; 4]$.

Giải $2x^2 - x + 3 > 0$.

Giải. $\Delta = 1 - 24 = -23 < 0$ và $a = 2 > 0$ nên $f(x) > 0$ với mọi $x$. $S = \mathbb{R}$.

Cho $f(x) = -x^2 + 2x - 1 = -(x - 1)^2$.

• $f(x) > 0$: không có $x$ nào làm $-(x-1)^2 > 0$, $S = \varnothing$.
• $f(x) \ge 0$: chỉ $x = 1$ làm $-(x-1)^2 = 0$, $S = \{1\}$.
• Đổi dấu của $a$: $x^2 - 2x + 1 > 0$ có $S = \mathbb{R} \setminus \{1\}$.

Đây là chỗ nhiều bạn mất điểm: nghiệm kép có thể làm tập nghiệm là một điểm, hoặc thủng một điểm.

Giải $x^2 \ge 5x - 6$.

Giải. Chuyển vế: $x^2 - 5x + 6 \ge 0$. Nghiệm $x = 2$, $x = 3$, $a > 0$. Dấu $\ge 0$ lấy ngoài hai nghiệm, kể cả nghiệm: $S = (-\infty; 2] \cup [3; +\infty)$.

Giải $(x + 1)(x - 3) > 2x - 3$.

Giải. Vế trái $= x^2 - 2x - 3$. Bất phương trình thành $x^2 - 2x - 3 - 2x + 3 > 0$, tức $x^2 - 4x > 0$, hay $x(x - 4) > 0$. Nghiệm $0$ và $4$, $a > 0$: $S = (-\infty; 0) \cup (4; +\infty)$.

Giải hệ $\begin{cases} x^2 - 5x + 4 \le 0 \\ x^2 - 2x - 3 < 0. \end{cases}$

Giải. Bất phương trình thứ nhất: nghiệm $1$, $4$, nên $S_1 = [1; 4]$. Bất phương trình thứ hai: nghiệm $-1$, $3$, nên $S_2 = (-1; 3)$. Giao: $S = S_1 \cap S_2 = [1; 3)$ (đầu $1$ thuộc cả hai, đầu $3$ chỉ thuộc $S_1$ nên bị loại).

Giải hệ $\begin{cases} 3x - 5 \ge 0 \\ x^2 - 2x - 8 < 0. \end{cases}$

Giải. Bất phương trình đầu: $x \ge \dfrac53$. Bất phương trình hai: nghiệm $-2$, $4$ nên $-2 < x < 4$. Giao: $S = \left[\dfrac53; 4\right)$.

Giải hệ $\begin{cases} x^2 - 4 > 0 \\ x^2 - 3x + 2 < 0. \end{cases}$

Giải. $S_1 = (-\infty; -2) \cup (2; +\infty)$, $S_2 = (1; 2)$. Hai tập rời nhau nên $S = \varnothing$. Hệ vô nghiệm.