Ứng dụng thực tế · Toán 10

Ứng dụng thực tế của hàm số bậc hai

Cổng, quỹ đạo, doanh thu

Mục tiêu

Chọn hệ trục toạ độ thuận lợi để lập phương trình parabol mô tả cổng, cầu, quỹ đạo.
Lập hàm bậc hai từ bài toán tối ưu (doanh thu, lợi nhuận, diện tích) và tìm giá trị lớn nhất.
Biết kiểm tra điều kiện thực tế của biến và trả lời đúng câu hỏi đề bài.

Khởi động

Cổng vòm Gateway Arch ở St. Louis, quỹ đạo quả bóng rổ, dây cáp cầu treo, mặt gương của đèn pha: đều gần với parabol. Mặt khác, người bán hàng muốn biết giá nào cho lợi nhuận cao nhất; nông dân muốn rào mảnh đất lớn nhất với số lưới có sẵn. Hai nhóm bài ấy, một về hình dạng, một về tối ưu, đều quy về hàm số bậc hai và đỉnh của parabol.

01Kiến thức cần nhớ

1. Mô hình hoá bằng hàm bậc hai

Hiểu đề, đặt ẩn với đơn vị rõ ràng.
Lập hàm: (a) bài hình học: chọn hệ toạ độ, viết toạ độ các điểm đã biết, xác định parabol; (b) bài tối ưu: viết đại lượng cần tối ưu thành hàm theo một biến.
Giải: dùng đỉnh (tối ưu) hoặc thế giá trị (hình học).
Kiểm điều kiện thực tế (biến phải dương, nguyên, nằm trong khoảng cho phép), rồi trả lời đúng đại lượng được hỏi (đề hỏi giá, đừng trả lời số lần tăng).

2. Chọn hệ toạ độ khéo

Cổng, cầu đối xứng: đặt đỉnh làm gốc ( $y=ax^2$ , một ẩn) hoặc đặt chân cổng làm gốc ( $y=ax(x-d)$ với $d$ là bề rộng).
Quỹ đạo theo thời gian: biến là $t$ , hàm $h(t)$ ; đỉnh là lúc cao nhất.
Chọn sao cho các điểm đề cho có toạ độ đơn giản và sao cho $a$ có thể suy ra từ một điểm.

02Tóm tắt

Hình học: chọn gốc ở đỉnh ( $y=ax^2$ ) hoặc chân cổng ( $y=ax(x-d)$ ), tìm $a$ từ một điểm.
Tối ưu: lập hàm bậc hai theo một biến, lấy đỉnh, kiểm miền biến.
Cuối bài: trả lời đúng đại lượng được hỏi, kèm đơn vị.

03Mở rộng

Quỹ đạo ném xiên trong mặt phẳng: vị trí $(x;y)$ thoả $y=x\tan\alpha-\dfrac{g}{2v_0^2\cos^2\alpha}x^2$ , là parabol bề lõm xuống; tầm xa là khoảng cách giữa hai giao điểm với $Ox$ , tầm cao là tung độ đỉnh. Đây là sự gặp nhau của hàm bậc hai và lượng giác ở lớp 11.

Tiếp theoPhương pháp →