Bất phương trình tích và bất phương trình thương

Giải $(x - 1)(x + 2)(x - 4) > 0$.

Giải. Điểm tới hạn $-2$, $1$, $4$.

$x$	$-\infty$		$-2$		$1$		$4$		$+\infty$
$x + 2$		$-$	$0$	$+$		$+$		$+$
$x - 1$		$-$		$-$	$0$	$+$		$+$
$x - 4$		$-$		$-$		$-$	$0$	$+$
Tích		$-$	$0$	$+$	$0$	$-$	$0$	$+$

Tích dương trên $(-2; 1)$ và $(4; +\infty)$: $S = (-2; 1) \cup (4; +\infty)$. Thử $x = 0$: $(-1)(2)(-4) = 8 > 0$, đúng.

Giải $\dfrac{x^2 - x - 6}{x^2 - 1} \ge 0$.

Giải. Tử: $x^2 - x - 6 = (x - 3)(x + 2)$. Mẫu: $x^2 - 1 = (x - 1)(x + 1)$. Điểm tới hạn $-2$, $-1$, $1$, $3$. Xét dấu $F$ trên năm khoảng, bắt đầu từ ngoài cùng bên phải $(3; +\infty)$ là $+$ (cả bốn nhân tử dương), rồi đổi dấu mỗi lần qua một nghiệm đơn:

$x$	$-\infty$		$-2$		$-1$		$1$		$3$		$+\infty$
$F(x)$		$+$	$0$	$-$	$\Vert$	$+$	$\Vert$	$-$	$0$	$+$

$F \ge 0$ trên $(-\infty; -2]$ (lấy $-2$ vì tử bằng $0$), $(-1; 1)$ (loại $\pm 1$ vì mẫu bằng $0$) và $[3; +\infty)$. $S = (-\infty; -2] \cup (-1; 1) \cup [3; +\infty)$. Kiểm: $F(0) = \dfrac{-6}{-1} = 6 \ge 0$.

Giải $(x - 2)^2(x + 1) \le 0$.

Giải. Vì $(x - 2)^2 \ge 0$ nên xét hai trường hợp: nếu $x = 2$ thì vế trái $= 0$, thoả. Nếu $x \ne 2$ thì $(x - 2)^2 > 0$, cần $x + 1 \le 0$, tức $x \le -1$. Vậy $S = (-\infty; -1] \cup \{2\}$. Bảng xét dấu cho cùng kết quả: vế trái âm khi $x < -1$ (bằng $0$ tại $x = -1$), dương khi $-1 < x < 2$ và khi $x > 2$; dấu không đổi qua $x = 2$ nhưng giá trị bằng $0$ tại đó, nên $2$ là điểm lẻ loi của tập nghiệm.

Giải $\dfrac{x + 1}{x - 2} \le 2$ (bài ở phần Khởi động).

Giải. Chuyển vế: $\dfrac{x + 1}{x - 2} - 2 \le 0$, quy đồng: $\dfrac{x + 1 - 2(x - 2)}{x - 2} = \dfrac{5 - x}{x - 2} \le 0$. Điểm tới hạn $x = 2$ (mẫu) và $x = 5$ (tử).

$x$	$-\infty$		$2$		$5$		$+\infty$
$5 - x$		$+$		$+$	$0$	$-$
$x - 2$		$-$	$0$	$+$		$+$
Thương		$-$	$\Vert$	$+$	$0$	$-$

Cần thương $\le 0$: $x < 2$ (loại $2$) hoặc $x \ge 5$. $S = (-\infty; 2) \cup [5; +\infty)$. Kiểm: $x = 0$ cho $-0{,}5 \le 2$ đúng; $x = 3$ cho $4 \le 2$ sai; $x = 6$ cho $\dfrac74 \le 2$ đúng.

Giải $\dfrac{1}{x - 1} > \dfrac{1}{x + 2}$.

Giải. $\dfrac{1}{x - 1} - \dfrac{1}{x + 2} = \dfrac{(x + 2) - (x - 1)}{(x - 1)(x + 2)} = \dfrac{3}{(x - 1)(x + 2)} > 0$. Tử là hằng dương nên cần mẫu dương: $(x - 1)(x + 2) > 0$, tức $x < -2$ hoặc $x > 1$. $S = (-\infty; -2) \cup (1; +\infty)$.

Giải $\dfrac{x^2 + x + 1}{x^2 - 4} < 0$.

Giải. Tử có $\Delta = 1 - 4 = -3 < 0$, $a > 0$ nên tử luôn dương. Do đó dấu của thương là dấu của mẫu: cần $x^2 - 4 < 0$, tức $-2 < x < 2$. $S = (-2; 2)$.