Các hệ thức lượng giác cơ bản

1. Xác định góc nhọn hay tù (đề cho khoảng của $\alpha$, hoặc suy từ dấu của giá trị đã biết).
2. Biết $\sin\alpha$ hoặc $\cos\alpha$: dùng $\sin^2\alpha + \cos^2\alpha = 1$ tìm giá trị kia, chọn dấu theo bước 1.
3. Biết $\tan\alpha$: tính $\cos^2\alpha = \dfrac{1}{1+\tan^2\alpha}$, chọn dấu của $\cos\alpha$ cùng dấu $\tan\alpha$; rồi $\sin\alpha = \tan\alpha\cos\alpha$. Biết $\cot\alpha$: tính $\sin^2\alpha = \dfrac{1}{1+\cot^2\alpha}$, lấy $\sin\alpha > 0$, rồi $\cos\alpha = \cot\alpha \sin\alpha$.
4. Tính các giá trị còn lại bằng $\tan = \dfrac{\sin}{\cos}$, $\cot = \dfrac{1}{\tan}$. Trục căn ở mẫu nếu cần.

1. Kiểm tra $\cos\alpha \ne 0$ (đúng vì $\tan\alpha$ xác định).
2. Nếu tử và mẫu đều là tổng các số hạng cùng bậc $k$ theo $\sin\alpha$, $\cos\alpha$ (ví dụ cùng bậc 1: $a\sin\alpha + b\cos\alpha$; cùng bậc 2: $a\sin^2\alpha + b\sin\alpha\cos\alpha + c\cos^2\alpha$), chia cả tử và mẫu cho $\cos^k\alpha$ để được biểu thức theo $\tan\alpha$.
3. Nếu biểu thức không có mẫu (ví dụ $\sin\alpha\cos\alpha$), coi như mẫu là $1 = \sin^2\alpha + \cos^2\alpha$ rồi làm như bước 2.
4. Thay giá trị $\tan\alpha$ và tính.

Thường gặp nhất: biết $\sin\alpha + \cos\alpha = m$ (hoặc $\sin\alpha - \cos\alpha = m$).

1. Bình phương hai vế và dùng $\sin^2\alpha + \cos^2\alpha = 1$: $(\sin\alpha \pm \cos\alpha)^2 = 1 \pm 2\sin\alpha\cos\alpha \ \Rightarrow\ \sin\alpha\cos\alpha = \pm\dfrac{m^2 - 1}{2}.$
2. Viết biểu thức cần tính theo tổng $S = \sin\alpha + \cos\alpha$ và tích $P = \sin\alpha\cos\alpha$, ví dụ $\sin^3\alpha + \cos^3\alpha = S^3 - 3PS$, $(\sin\alpha - \cos\alpha)^2 = 1 - 2P$.
3. Nếu cần từng giá trị $\sin\alpha$, $\cos\alpha$: chúng là hai nghiệm của $t^2 - St + P = 0$; chọn nghiệm theo dấu (nhớ $\sin\alpha \ge 0$).

1. Đưa các góc dạng $180^\circ - x$, $90^\circ - x$ về góc $x$ (quan hệ góc bù, góc phụ).
2. Đổi $\tan$, $\cot$ sang $\sin$, $\cos$ nếu cần; quy đồng.
3. Dùng hằng đẳng thức đại số ($a^2 - b^2 = (a-b)(a+b)$, $(a+b)^2$, …) kết hợp $\sin^2 x + \cos^2 x = 1$ để rút gọn.
4. Nếu kết quả là một hằng số, ta nói biểu thức không phụ thuộc $x$. Ghi rõ điều kiện của $x$ để biểu thức xác định.

1. Ghi điều kiện để hai vế xác định.
2. Chọn một trong ba hướng: biến đổi vế phức tạp thành vế đơn giản; đưa từng vế về một biểu thức trung gian chung; hoặc xét hiệu hai vế và chỉ ra nó bằng 0 (cũng có thể dùng chuỗi phép biến đổi tương đương dẫn tới điều hiển nhiên).
3. Công cụ: sáu hệ thức cơ bản, quy đồng, hằng đẳng thức. Mỗi bước chỉ dùng phép biến đổi đúng với điều kiện đã ghi.