Phương trình √f(x) = g(x) và nghiệm ngoại lai

Giải $\sqrt{x + 6} = x$.

Giải. Điều kiện $x \ge 0$. Bình phương: $x + 6 = x^2$, tức $x^2 - x - 6 = 0$, nghiệm $x = 3$ hoặc $x = -2$. Đối chiếu: $x = 3 \ge 0$ nhận ($\sqrt9 = 3$), $x = -2 < 0$ loại. Vậy $S = \{3\}$.

Giải $\sqrt{x^2 + 3x - 1} = x + 1$.

Giải. Điều kiện $x + 1 \ge 0$, tức $x \ge -1$. Bình phương: $x^2 + 3x - 1 = x^2 + 2x + 1$, nên $x = 2$. Đối chiếu: $2 \ge -1$ nhận. Thử: $\sqrt{4 + 6 - 1} = 3 = 2 + 1$. Vậy $S = \{2\}$.

Giải $\sqrt{2x^2 - 2x + 9} = x + 2$.

Giải. Điều kiện $x \ge -2$. Bình phương: $2x^2 - 2x + 9 = x^2 + 4x + 4$, tức $x^2 - 6x + 5 = 0$, nghiệm $x = 1$ hoặc $x = 5$. Cả hai đều $\ge -2$. Thử: $x = 1$: $\sqrt{2 - 2 + 9} = 3 = 1 + 2$. $x = 5$: $\sqrt{50 - 10 + 9} = 7 = 5 + 2$. Vậy $S = \{1; 5\}$.

Giải $\sqrt{2x^2 - 13x + 19} = x - 3$.

Giải. Điều kiện $x \ge 3$. Bình phương: $2x^2 - 13x + 19 = x^2 - 6x + 9$, tức $x^2 - 7x + 10 = 0$, nghiệm $x = 2$ hoặc $x = 5$. Đối chiếu: $x = 2 < 3$ loại (nếu thay: $\sqrt{8 - 26 + 19} = 1$ nhưng $x - 3 = -1$); $x = 5 \ge 3$ nhận: $\sqrt{50 - 65 + 19} = 2 = 5 - 3$. Vậy $S = \{5\}$.

Giải $\sqrt{x^2 - 4x + 7} = x - 5$.

Giải. Điều kiện $x \ge 5$. Bình phương: $x^2 - 4x + 7 = x^2 - 10x + 25$, nên $6x = 18$, $x = 3$. Đối chiếu: $3 < 5$ loại. Vậy $S = \varnothing$.

Đồ thị: đường thẳng $y = x - 5$ chỉ cắt nhánh dưới của $y^2 = x^2 - 4x + 7$ (tại $x = 3$, $y = -2$) và không cắt nhánh trên.

Giải $\sqrt{x + 3} = x - 1$.

Giải. Điều kiện $x \ge 1$. Bình phương: $x + 3 = x^2 - 2x + 1$, tức $x^2 - 3x - 2 = 0$, $\Delta = 17$, nghiệm $x = \dfrac{3 \pm \sqrt{17}}{2}$, xấp xỉ $3{,}56$ và $-0{,}56$. Nghiệm đầu lớn hơn $1$ nên nhận; nghiệm sau nhỏ hơn $1$ nên loại. Vậy $S = \left\{\dfrac{3 + \sqrt{17}}{2}\right\}$.

Nếu thử lại, ta phải tính $\sqrt{\tfrac{3 + \sqrt{17}}{2} + 3}$ rất rườm; đối chiếu điều kiện chỉ là so sánh hai số.