Phủ định mệnh đề, kí hiệu ∀ và ∃

Lập mệnh đề phủ định của mỗi mệnh đề sau và cho biết mệnh đề gốc hay mệnh đề phủ định là mệnh đề đúng:

a) $P$: "$7$ là số lẻ." b) $Q$: "$5 < 3$." c) $R$: "$n$ chia hết cho $6$" (với $n = 18$).

Giải. a) $\overline P$: "$7$ không là số lẻ" (sai); $P$ đúng. b) $\overline Q$: "$5 \ge 3$" (đúng); $Q$ sai. c) $\overline R$: "$18$ không chia hết cho $6$" (sai); $R$ đúng vì $18 = 6 \cdot 3$.

Cho $P$: "$\forall x \in \mathbb{R},\ x^2 - 2x + 3 > 0$". Lập $\overline P$ và xét đúng sai.

Giải. $\overline P$: "$\exists x \in \mathbb{R},\ x^2 - 2x + 3 \le 0$".

Ta có $x^2 - 2x + 3 = (x - 1)^2 + 2 \ge 2 > 0$ với mọi $x$, nên $P$ đúng. Suy ra $\overline P$ sai. (Cách khác: $\Delta' = 1 - 3 = -2 < 0$ và hệ số của $x^2$ dương.)

Cho $Q$: "$\exists x \in \mathbb{Z},\ 2x + 1 = 6$". Lập $\overline Q$ và xét đúng sai cả hai.

Giải. $\overline Q$: "$\forall x \in \mathbb{Z},\ 2x + 1 \ne 6$".

Phương trình $2x + 1 = 6$ cho $x = 2{,}5 \notin \mathbb{Z}$, nên không có số nguyên nào thoả mãn. Vậy $Q$ sai và $\overline Q$ đúng.

Lập phủ định của:

a) "Mọi học sinh lớp 10A đều đạt hạnh kiểm Tốt." b) "Tồn tại số nguyên tố chẵn."

Giải. a) "Có ít nhất một học sinh lớp 10A không đạt hạnh kiểm Tốt." (Không viết: "Mọi học sinh lớp 10A đều không đạt hạnh kiểm Tốt".) b) "Mọi số nguyên tố đều lẻ." Mệnh đề gốc đúng vì $2$ là số nguyên tố chẵn, nên phủ định này sai.

Bạn Hà thử $n = 0, 1, 2, \dots$ thấy $n^2 + n + 41$ luôn là số nguyên tố và cho rằng "$\forall n \in \mathbb{N},\ n^2 + n + 41$ là số nguyên tố". Mệnh đề này có đúng không?

Giải. Thử tiếp với $n = 40$: $40^2 + 40 + 41 = 1681 = 41^2$, không phải số nguyên tố. Vậy $n = 40$ là phản ví dụ, mệnh đề sai. Phủ định "$\exists n \in \mathbb{N},\ n^2 + n + 41$ là hợp số" đúng. Bài học: thử nhiều giá trị mà đều đúng chưa đủ chứng minh mệnh đề "với mọi".