Parabol và đường thẳng

Tìm giao điểm của $y=x^2-4x+3$ và $y=x-1$.

Giải. $x^2-4x+3=x-1\iff x^2-5x+4=0\iff x=1$ hoặc $x=4$. Tung độ: $y=1-1=0$ và $y=4-1=3$. Giao điểm $(1;0)$ và $(4;3)$.

Parabol $y=x^2-4x+3$ (đỉnh $(2;-1)$). Với giá trị nào của $m$ thì đường $y=m$ cắt parabol tại hai điểm phân biệt?

Giải. $x^2-4x+3-m=0$, $\Delta'=16-4(3-m)=4+4m$. $\Delta'>0\iff m>-1$. Hợp với hình: đường ngang phải nằm trên đỉnh. $m=-1$: tiếp xúc tại đỉnh; $m<-1$: không giao.

Tìm $m$ để đường thẳng $y=2x+m$ tiếp xúc parabol $y=x^2-2x+3$, và tìm tiếp điểm.

Giải. $x^2-2x+3=2x+m\iff x^2-4x+3-m=0$, $\Delta'=16-4(3-m)=4+4m=0\iff m=-1$. Tiếp điểm có hoành độ $-\dfrac{-4}{2}=2$, tung độ $2\cdot2-1=3$: $(2;3)$. Thử: $y=x^2-2x+3$ tại $x=2$: $4-4+3=3$. Đúng.

Biện luận số giao điểm của $y=x^2-2x$ và $y=x+m$ theo $m$.

Giải. $x^2-3x-m=0$, $\Delta'=9+4m$. Nếu $m>-\dfrac94$: $2$ giao điểm. $m=-\dfrac94$: $1$ (tiếp xúc). $m<-\dfrac94$: không có.

Tìm giao điểm của $y=x^2-2x+3$ và $y=-x^2+4x-1$.

Giải. $x^2-2x+3=-x^2+4x-1\iff2x^2-6x+4=0\iff x^2-3x+2=0\iff x=1$ hoặc $x=2$. Tung độ: $f(1)=2$, $f(2)=3$. Giao điểm $(1;2)$ và $(2;3)$.

Đường thẳng $y=x+m$ cắt $y=x^2$ tại $A$, $B$ với $AB=3\sqrt2$. Tìm $m$.

Giải. $x^2=x+m\iff x^2-x-m=0$, $\Delta'=1+4m>0\iff m>-\dfrac14$. $(x_1-x_2)^2=\Delta'=1+4m$ (vì $A=1$). Hệ số góc $k=1$ nên $AB^2=2(1+4m)=18\Rightarrow m=2$. Thoả $m>-\dfrac14$. Đáp số: $m=2$. Kiểm tra: nghiệm $x=-1$ và $x=2$, $A(-1;1)$, $B(2;4)$, $AB=\sqrt{9+9}=3\sqrt2$.

Đường thẳng $y=2x+m$ cắt $y=x^2$ tại $A$, $B$ với $AB=5$. Tìm $m$.

Giải. $x^2-2x-m=0$, $\Delta'=4+4m>0\iff m>-1$. $AB^2=(1+4)\cdot\Delta'=5(4+4m)=25\Rightarrow m=\dfrac14$. Thoả $m>-1$.