Điều kiện nghiệm của phương trình bậc hai theo tham số và hệ thức Viète

Cho phương trình $mx^2 - 2(m + 1)x + m + 3 = 0$. Tìm $m$ để phương trình (a) có nghiệm; (b) có hai nghiệm phân biệt; (c) vô nghiệm.

Giải.

$m = 0$: $-2x + 3 = 0$ có một nghiệm $x = \dfrac32$.

$m \ne 0$: $\Delta' = (m + 1)^2 - m(m + 3) = m^2 + 2m + 1 - m^2 - 3m = 1 - m$.

(a) Có nghiệm: $m = 0$ hoặc ($m \ne 0$ và $1 - m \ge 0$). Vậy $m \le 1$.

(b) Hai nghiệm phân biệt: cần $a \ne 0$ và $\Delta' > 0$, tức $m \ne 0$ và $m < 1$. Đáp số: $m < 1$, $m \ne 0$.

(c) Vô nghiệm: $m \ne 0$ và $1 - m < 0$, tức $m > 1$ ($m = 0$ vẫn có nghiệm).

Tìm $m$ để $(m + 1)x^2 - 2x + m - 3 = 0$ có hai nghiệm trái dấu.

Giải. Hai nghiệm trái dấu $\iff ac < 0$, tức $(m + 1)(m - 3) < 0$, nên $-1 < m < 3$. (Khi $ac < 0$, $a \ne 0$ và $\Delta > 0$ tự có.)

Tìm $m$ để $x^2 - 2mx + m + 2 = 0$ có hai nghiệm dương phân biệt.

Giải. Cần $\Delta' > 0$, $S > 0$, $P > 0$.

• $\Delta' = m^2 - m - 2 > 0 \iff m < -1$ hoặc $m > 2$.
• $S = 2m > 0 \iff m > 0$.
• $P = m + 2 > 0 \iff m > -2$.

Giao ba điều kiện: $m > 2$. Kiểm: $m = 3$ cho $x^2 - 6x + 5 = 0$, nghiệm $1$ và $5$, đều dương ✓.

Cho $x^2 - 2(m - 1)x + m^2 - 3m = 0$. Tìm $m$ để hai nghiệm $x_1$, $x_2$ thoả $x_1^2 + x_2^2 = 10$.

Giải. $\Delta' = (m - 1)^2 - (m^2 - 3m) = m + 1$. Để có nghiệm: $m \ge -1$.

$S = 2(m - 1)$, $P = m^2 - 3m$. Khi đó

Đặt bằng $10$: $2m^2 - 2m - 6 = 0$, tức $m^2 - m - 3 = 0$, $m = \dfrac{1 \pm \sqrt{13}}{2}$, xấp xỉ $2{,}30$ và $-1{,}30$. Đối chiếu $m \ge -1$: loại $m = \dfrac{1 - \sqrt{13}}{2}$ (vì $\approx -1{,}30 < -1$, phương trình khi đó vô nghiệm). Đáp số: $m = \dfrac{1 + \sqrt{13}}{2}$.

Tìm $m$ để $x^2 - mx + 2 = 0$ có hai nghiệm thoả $x_1 = 2x_2$.

Giải. $S = x_1 + x_2 = 3x_2 = m$ và $P = x_1x_2 = 2x_2^2 = 2$ nên $x_2^2 = 1$, $x_2 = \pm 1$, $m = 3x_2 = \pm 3$. Kiểm điều kiện nghiệm: $\Delta = m^2 - 8 = 1 > 0$ ✓ (cả hai giá trị). Đáp số: $m = 3$ (nghiệm $1$, $2$) hoặc $m = -3$ (nghiệm $-1$, $-2$).

Tìm $m$ để $x^2 - 4x + m = 0$ có hai nghiệm cách nhau $2$: $\lvert x_1 - x_2 \rvert = 2$.

Giải. $(x_1 - x_2)^2 = S^2 - 4P = 16 - 4m = 4$ nên $m = 3$. Kiểm: $\Delta' = 4 - 3 = 1 > 0$ ✓ (nghiệm $1$ và $3$).

Tìm $m$ để $x^2 - 2mx + m + 2 = 0$ có hai nghiệm đều lớn hơn $1$.

Giải. Đặt $f(x) = x^2 - 2mx + m + 2$ $(a = 1)$. Điều kiện:

1. $\Delta' = m^2 - m - 2 \ge 0 \iff m \le -1$ hoặc $m \ge 2$.
2. $a \cdot f(1) = 1 - 2m + m + 2 = 3 - m > 0 \iff m < 3$.
3. $\dfrac{S}{2} = m > 1$.

Giao: từ (3) và (1) được $m \ge 2$; cùng (2): $2 \le m < 3$. Đáp số $m \in [2; 3)$.

Kiểm biên: $m = 2$ cho $x^2 - 4x + 4 = (x - 2)^2$ có nghiệm kép $2 > 1$ ✓; $m = 3$ cho $x^2 - 6x + 5 = 0$ có nghiệm $1$ và $5$, nghiệm $1$ không lớn hơn $1$, nên loại $m = 3$ ✓ (đó là lí do điều kiện $a \cdot f(1) > 0$ phải ngặt).

Biến thể. Hai nghiệm nằm về hai phía của $1$ $\iff f(1) < 0 \iff 3 - m < 0 \iff m > 3$.