Hàm số đồng biến, nghịch biến

Xét sự biến thiên của $y = 3 - 2x$ trên $\mathbb{R}$.

Giải. Lấy $x_1 \ne x_2$ bất kì. $f(x_2) - f(x_1) = (3 - 2x_2) - (3 - 2x_1) = -2(x_2 - x_1)$, nên $T = -2 < 0$. Hàm số nghịch biến trên $\mathbb{R}$.

Xét sự biến thiên của $y = x^2 - 4x + 1$ trên $\mathbb{R}$.

Giải. Lấy $x_1 \ne x_2$. $f(x_2) - f(x_1) = (x_2^2 - x_1^2) - 4(x_2 - x_1) = (x_2 - x_1)(x_2 + x_1 - 4)$, nên $T = x_1 + x_2 - 4$.

• Trên $(2; +\infty)$: $x_1, x_2 > 2$ nên $x_1 + x_2 > 4$, $T > 0$: đồng biến.
• Trên $(-\infty; 2)$: $x_1 + x_2 < 4$, $T < 0$: nghịch biến.

Giá trị tại chỗ đổi chiều: $f(2) = 4 - 8 + 1 = -3$.

$x$	$-\infty$		$2$		$+\infty$
$y$		$\searrow$	$-3$	$\nearrow$

Xét sự biến thiên của $y = \dfrac1x$.

Giải. $D = \mathbb{R} \setminus \{0\}$. Với $x_1 \ne x_2$ cùng khoảng: $f(x_2) - f(x_1) = \dfrac{x_1 - x_2}{x_1x_2}$, nên $T = -\dfrac{1}{x_1x_2}$.

• Trên $(0; +\infty)$: $x_1x_2 > 0$ nên $T < 0$: nghịch biến.
• Trên $(-\infty; 0)$: $x_1x_2 > 0$ (hai số cùng âm) nên $T < 0$: nghịch biến.

Hàm nghịch biến trên mỗi khoảng $(-\infty; 0)$ và $(0; +\infty)$, nhưng không nghịch biến trên cả hợp: chọn $x_1 = -1 < x_2 = 1$ thì $f(-1) = -1 < f(1) = 1$, trái với định nghĩa nghịch biến.

Chứng minh $y = \sqrt{x}$ đồng biến trên $[0; +\infty)$.

Giải. Với $0 \le x_1 < x_2$: $T = \dfrac{\sqrt{x_2} - \sqrt{x_1}}{x_2 - x_1} = \dfrac{1}{\sqrt{x_2} + \sqrt{x_1}} > 0$ (mẫu dương vì $x_2 > 0$). Vậy đồng biến.

Xét sự biến thiên của $y = \dfrac{x}{x + 1}$ trên từng khoảng của tập xác định.

Giải. $D = \mathbb{R} \setminus \{-1\}$. $f(x_2) - f(x_1) = \dfrac{x_2}{x_2 + 1} - \dfrac{x_1}{x_1 + 1} = \dfrac{x_2(x_1 + 1) - x_1(x_2 + 1)}{(x_1 + 1)(x_2 + 1)} = \dfrac{x_2 - x_1}{(x_1 + 1)(x_2 + 1)}$.

Vậy $T = \dfrac{1}{(x_1 + 1)(x_2 + 1)}$. Trên $(-\infty; -1)$ cả hai thừa số cùng âm, tích dương; trên $(-1; +\infty)$ cả hai cùng dương. Cả hai khoảng đều có $T > 0$: hàm đồng biến trên mỗi khoảng $(-\infty; -1)$ và $(-1; +\infty)$.

Hàm số $f$ có đồ thị $(C)$ (qua $A(-3; 1)$, $B(-1; -2)$, $C(1; 2)$, $E(3; 0)$). a) Nêu các khoảng đơn điệu. b) So sánh $f(0{,}2)$ và $f(0{,}7)$, và $f(1{,}5)$ và $f(2{,}5)$.

Giải. a) Nghịch biến trên $(-3; -1)$ và $(1; 3)$; đồng biến trên $(-1; 1)$.

b) $0{,}2 < 0{,}7$ cùng thuộc $(-1; 1)$, nơi $f$ đồng biến nên $f(0{,}2) < f(0{,}7)$ (thực ra $0{,}4 < 1{,}4$). $1{,}5 < 2{,}5$ cùng thuộc $(1; 3)$, nơi $f$ nghịch biến nên $f(1{,}5) > f(2{,}5)$ (thực ra $1{,}5 > 0{,}5$).

Tìm $m$ để hàm số $y = (m^2 - 4)x + 1$ nghịch biến trên $\mathbb{R}$.

Giải. Hệ số góc $m^2 - 4$. Nghịch biến khi $m^2 - 4 < 0 \Leftrightarrow (m - 2)(m + 2) < 0 \Leftrightarrow -2 < m < 2$.

Tìm $m$ để hàm số $y = x^2 - 2mx + 1$ đồng biến trên $(1; +\infty)$.

Giải. $f(x_2) - f(x_1) = (x_2 - x_1)(x_1 + x_2 - 2m)$, nên $T = x_1 + x_2 - 2m$. Cần $T > 0$ với mọi $1 < x_1 < x_2$. Khi $x_1, x_2 > 1$ thì $x_1 + x_2 > 2$ và có thể tiến gần $2$ tuỳ ý (nhưng không đạt $2$). Vậy $T > 0$ với mọi $x_1, x_2$ khi và chỉ khi $2 - 2m \ge 0$, tức $m \le 1$.

(Kiểm: $m = 1$ thì $T = x_1 + x_2 - 2 > 0$ do $x_1 + x_2 > 2$; $m = 1{,}1$ thì với $x_1 = 1{,}01$, $x_2 = 1{,}02$ được $T = 2{,}03 - 2{,}2 < 0$, hàm không đồng biến.)

Hàm $y = |x - 1|$ có đơn điệu trên $\mathbb{R}$ không? Nêu các khoảng đơn điệu.

Giải. Đồ thị là chữ V có đỉnh $(1; 0)$. Với $x_1 = 0 < x_2 = 2$ ta có $f(0) = 1$, $f(2) = 1$: không tăng ngặt cũng không giảm ngặt, nên không đơn điệu trên $\mathbb{R}$. Nghịch biến trên $(-\infty; 1)$ (nhánh $y = 1 - x$), đồng biến trên $(1; +\infty)$ (nhánh $y = x - 1$).