Phương trình bậc bốn đối xứng (hồi quy)

Giải $2x^4 - 9x^3 + 14x^2 - 9x + 2 = 0$.

Giải. Chia $x^2$ (vì $x = 0$ không là nghiệm): $2\left(x^2 + \dfrac1{x^2}\right) - 9\left(x + \dfrac1x\right) + 14 = 0$. Đặt $t = x + \dfrac1x$: $2(t^2 - 2) - 9t + 14 = 0$, tức $2t^2 - 9t + 10 = 0$, $\Delta = 1$, $t = \dfrac52$ hoặc $t = 2$. Cả hai thoả $\lvert t \rvert \ge 2$.

• $t = 2$: $x^2 - 2x + 1 = 0$, $x = 1$.
• $t = \dfrac52$: $x^2 - \dfrac52 x + 1 = 0$, tức $2x^2 - 5x + 2 = 0$, $x = 2$ hoặc $x = \dfrac12$ (hai nghiệm nghịch đảo).

Vậy $S = \left\{\dfrac12;\ 1;\ 2\right\}$. Thử $x = 1$: $2 - 9 + 14 - 9 + 2 = 0$.

Giải $x^4 + x^3 - 4x^2 + x + 1 = 0$.

Giải. Chia $x^2$: $\left(x^2 + \dfrac1{x^2}\right) + \left(x + \dfrac1x\right) - 4 = 0$. Đặt $t = x + \dfrac1x$: $t^2 - 2 + t - 4 = 0$, tức $t^2 + t - 6 = 0$, $t = 2$ hoặc $t = -3$. Cả hai thoả $\lvert t \rvert \ge 2$.

• $t = 2$: $x = 1$.
• $t = -3$: $x^2 + 3x + 1 = 0$, $\Delta = 5$, $x = \dfrac{-3 \pm \sqrt5}{2}$ (tích hai nghiệm bằng $1$, đúng nghịch đảo).

Vậy $S = \left\{\dfrac{-3 - \sqrt5}{2};\ \dfrac{-3 + \sqrt5}{2};\ 1\right\}$.

Giải $x^4 - 4x^3 + 5x^2 - 4x + 1 = 0$.

Giải. Chia $x^2$: $\left(x^2 + \dfrac1{x^2}\right) - 4\left(x + \dfrac1x\right) + 5 = 0$. Đặt $t = x + \dfrac1x$: $t^2 - 2 - 4t + 5 = 0$, tức $t^2 - 4t + 3 = 0$, $t = 1$ hoặc $t = 3$.

• $t = 1$: $\lvert 1 \rvert < 2$, loại. (Thật vậy $x^2 - x + 1 = 0$ có $\Delta = -3 < 0$.)
• $t = 3$: $x^2 - 3x + 1 = 0$, $x = \dfrac{3 \pm \sqrt5}{2}$.

Vậy $S = \left\{\dfrac{3 - \sqrt5}{2};\ \dfrac{3 + \sqrt5}{2}\right\}$. Nếu không loại $t = 1$ thì cũng chỉ thấy phương trình $x^2 - x + 1 = 0$ vô nghiệm, nhưng lập tức nhìn được từ $\lvert t \rvert < 2$ nhanh hơn.

Giải $2x^4 - 5x^3 + 5x - 2 = 0$.

Giải. Hệ số $2,\ -5,\ 0,\ 5,\ -2$ đối nhau. Nhóm: $2(x^4 - 1) - 5x(x^2 - 1) = (x^2 - 1)\big(2(x^2 + 1) - 5x\big) = (x^2 - 1)(2x^2 - 5x + 2)$. Vậy $x^2 - 1 = 0$ cho $x = \pm1$, hoặc $2x^2 - 5x + 2 = 0$ cho $x = 2$ hoặc $x = \dfrac12$. $S = \left\{-1;\ \dfrac12;\ 1;\ 2\right\}$.

Giải $x^4 - 3x^3 + 4x^2 - 6x + 4 = 0$.

Giải. Hệ số $1,\ -3,\ 4,\ -6,\ 4$: hệ số thứ tư là $2 \cdot (-3)$ và hệ số cuối là $2^2 \cdot 1$, nên $k = 2$. Chia $x^2$: $\left(x^2 + \dfrac4{x^2}\right) - 3\left(x + \dfrac2x\right) + 4 = 0$. Đặt $t = x + \dfrac2x$: $x^2 + \dfrac4{x^2} = t^2 - 4$, phương trình thành $t^2 - 4 - 3t + 4 = 0$, tức $t(t - 3) = 0$. Điều kiện: $t^2 \ge 8$, tức $\lvert t \rvert \ge 2\sqrt2 \approx 2{,}83$.

• $t = 0$: loại.
• $t = 3$: nhận ($3 > 2{,}83$), $x^2 - 3x + 2 = 0$, $x = 1$ hoặc $x = 2$.

Vậy $S = \{1; 2\}$. Thử $x = 2$: $16 - 24 + 16 - 12 + 4 = 0$.