Giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của hàm bậc hai trên một đoạn

Tìm GTLN, GTNN của $y=x^2-4x+1$ trên $[0;3]$.

Giải. $h=2\in[0;3]$. $f(2)=-3$, $f(0)=1$, $f(3)=-2$. Vậy $\min=-3$ (tại $x=2$), $\max=1$ (tại $x=0$).

Cũng hàm số trên, trên $[3;5]$ và trên $[-1;1]$.

Giải. Trên $[3;5]$: $h=2<3$, hàm tăng; $f(3)=-2$, $f(5)=6$: $\min=-2$, $\max=6$. Trên $[-1;1]$: $h=2>1$, hàm giảm; $f(-1)=6$, $f(1)=-2$: $\min=-2$, $\max=6$.

Tìm GTLN, GTNN của $y=-x^2+2x+3$ trên $[-2;0]$ và trên $[0;3]$.

Giải. $h=1$. Trên $[-2;0]$: $h>0$, $a<0$ nên hàm tăng. $f(-2)=-5$, $f(0)=3$: $\min=-5$, $\max=3$. Trên $[0;3]$: $h=1$ thuộc đoạn, $\max=f(1)=4$; $f(0)=3$, $f(3)=0$ nên $\min=0$.

Với $y=x^2-4x+1$, xét trên $(3;5]$ và trên $[0;+\infty)$.

Giải. Trên $(3;5]$: hàm tăng, $f(5)=6$ là GTLN (đạt tại $x=5$). Giá trị $f(3)=-2$ không đạt vì $3$ không thuộc tập, nên không có GTNN. Trên $[0;+\infty)$: $\min=f(2)=-3$; không có GTLN vì hàm tiến tới $+\infty$.

Tìm $m$ để GTNN của $y=x^2-2mx+1$ trên $[0;2]$ bằng $-1$.

Giải. $a=1>0$, $h=m$.

• $m\le0$: hàm tăng trên $[0;2]$, $\min=f(0)=1\ne-1$: loại.
• $0<m<2$: $\min=f(m)=1-m^2=-1\Rightarrow m^2=2\Rightarrow m=\sqrt2$ (nhận, vì $0<\sqrt2<2$); $m=-\sqrt2$ loại.
• $m\ge2$: hàm giảm, $\min=f(2)=5-4m=-1\Rightarrow m=\dfrac32$, không thoả $m\ge2$: loại.

Đáp số: $m=\sqrt2$.

Tìm $m$ để GTLN của $y=-x^2+2mx$ trên $[0;1]$ bằng $3$.

Giải. $a=-1<0$, $h=m$.

• $m\le0$: hàm giảm trên $[0;1]$, $\max=f(0)=0\ne3$: loại.
• $0<m<1$: $\max=f(m)=m^2=3\Rightarrow m=\pm\sqrt3$, không thuộc $(0;1)$: loại.
• $m\ge1$: hàm tăng, $\max=f(1)=2m-1=3\Rightarrow m=2$, thoả $m\ge1$.

Đáp số: $m=2$.