Đặt ẩn phụ trong phương trình chứa căn

Giải $x^2 + \sqrt{x^2 + 11} = 31$.

Giải. Đặt $t = \sqrt{x^2 + 11}$, $t \ge \sqrt{11}$. Khi đó $x^2 = t^2 - 11$ và phương trình thành $t^2 + t - 42 = 0$, nghiệm $t = 6$ hoặc $t = -7$. Loại $t = -7$ (âm). Với $t = 6$ (thoả $6 \ge \sqrt{11}$): $x^2 + 11 = 36$, $x = \pm5$. Thử: $25 + \sqrt{36} = 31$. Vậy $S = \{-5; 5\}$.

Giải $x^2 + 6x + 2 - 2\sqrt{x^2 + 6x + 10} = 0$.

Giải. Đặt $t = \sqrt{x^2 + 6x + 10}$. Vì $x^2 + 6x + 10 = (x + 3)^2 + 1 \ge 1$ nên $t \ge 1$. Có $x^2 + 6x + 2 = t^2 - 8$, phương trình thành $t^2 - 2t - 8 = 0$, nghiệm $t = 4$ hoặc $t = -2$. Loại $t = -2$. Với $t = 4$: $(x + 3)^2 + 1 = 16$, $(x + 3)^2 = 15$, $x = -3 \pm \sqrt{15}$. Vậy $S = \{-3 - \sqrt{15};\ -3 + \sqrt{15}\}$.

Thử bằng số: $x = -3 + \sqrt{15}$ có $x + 3 = \sqrt{15}$, $x^2 + 6x + 10 = 16$, $x^2 + 6x + 2 = 8$, và $8 - 2 \cdot 4 = 0$.

Giải $x^2 - 4x + 7 - 3\sqrt{x^2 - 4x + 5} = 0$.

Giải. Đặt $t = \sqrt{x^2 - 4x + 5} = \sqrt{(x - 2)^2 + 1}$, nên $t \ge 1$. Vì $x^2 - 4x + 7 = t^2 + 2$, phương trình thành $t^2 - 3t + 2 = 0$, nghiệm $t = 1$ hoặc $t = 2$; cả hai $\ge 1$.

• $t = 1$: $(x - 2)^2 = 0$, $x = 2$ (chỉ một nghiệm vì $t = 1$ là giá trị nhỏ nhất).
• $t = 2$: $(x - 2)^2 = 3$, $x = 2 \pm \sqrt3$ (hai nghiệm).

Vậy $S = \{2 - \sqrt3;\ 2;\ 2 + \sqrt3\}$, ba nghiệm. Thử $x = 2$: $4 - 8 + 7 = 3$ và $3\sqrt{4 - 8 + 5} = 3$, hiệu bằng $0$.

Giải $\sqrt{x + 3} + \sqrt{6 - x} + 2\sqrt{(x + 3)(6 - x)} = 3$.

Giải. ĐKXĐ: $-3 \le x \le 6$. Đặt $t = \sqrt{x + 3} + \sqrt{6 - x}$. Bình phương: $t^2 = 9 + 2\sqrt{(x + 3)(6 - x)}$, nên $2\sqrt{(x + 3)(6 - x)} = t^2 - 9$.

Miền của $t$. Từ $t^2 = 9 + 2\sqrt{(x + 3)(6 - x)} \ge 9$ và $t \ge 0$ suy ra $t \ge 3$. (Dấu bằng khi $\sqrt{(x + 3)(6 - x)} = 0$, tức ở hai đầu mút của ĐKXĐ.)

Phương trình thành $t + (t^2 - 9) = 3$, tức $t^2 + t - 12 = 0$, nghiệm $t = 3$ hoặc $t = -4$. Loại $t = -4$ (không $\ge 3$). Với $t = 3$: $\sqrt{(x + 3)(6 - x)} = 0$, nên $x = -3$ hoặc $x = 6$. Thử $x = 6$: $3 + 0 + 0 = 3$; $x = -3$: $0 + 3 + 0 = 3$. Vậy $S = \{-3; 6\}$.

Giải $x^2 + 3x + 2 + 2\sqrt{x^2 + 3x + 6} = 11$.

Giải. Đặt $t = \sqrt{x^2 + 3x + 6} = \sqrt{\left(x + \tfrac32\right)^2 + \tfrac{15}{4}}$, nên $t \ge \dfrac{\sqrt{15}}{2} \approx 1{,}94$. Khi đó $x^2 + 3x + 2 = t^2 - 4$ và phương trình thành $t^2 - 4 + 2t = 11$, tức $t^2 + 2t - 15 = 0$, nghiệm $t = 3$ hoặc $t = -5$. Loại $t = -5$. Với $t = 3$ ($3 \ge 1{,}94$): $x^2 + 3x + 6 = 9$, $x^2 + 3x - 3 = 0$, $\Delta = 21$, $x = \dfrac{-3 \pm \sqrt{21}}{2}$. Vậy $S = \left\{\dfrac{-3 - \sqrt{21}}{2};\ \dfrac{-3 + \sqrt{21}}{2}\right\}$.