Đặt ẩn phụ trong phương trình chứa căn

$t = \sqrt{x^2 + 5} \ge \sqrt5$; $x^2 = t^2 - 5$: $t^2 + t - 12 = 0$, $t = 3$ hoặc $t = -4$ (loại). $x^2 + 5 = 9$, $x = \pm2$. Thử: $4 + 3 = 7$. $S = \{-2; 2\}$.

$t = \sqrt{(x - 1)^2 + 4} \ge 2$; $x^2 - 2x + 11 = t^2 + 6$; $t^2 - 5t + 6 = 0$, $t = 2$ hoặc $t = 3$. $t = 2$: $x = 1$. $t = 3$: $(x - 1)^2 = 5$, $x = 1 \pm \sqrt5$. $S = \{1 - \sqrt5;\ 1;\ 1 + \sqrt5\}$.

$t \ge 2$; $x^2 - 2x + 7 = t^2 + 2$; $t^2 - 3t + 2 = 0$, $t = 1$ hoặc $t = 2$. $t = 1 < 2$ bị loại (ngoài miền). $t = 2$: $x = 1$. $S = \{1\}$. Thử $x = 1$: $1 - 2 + 7 = 6$ và $3\sqrt{1 - 2 + 5} = 6$.

$t = \sqrt{x + 1} + \sqrt{7 - x}$, $t^2 = 8 + 2\sqrt{(x + 1)(7 - x)}$ nên $\sqrt{(x + 1)(7 - x)} = \dfrac{t^2 - 8}{2}$, $t \ge 2\sqrt2$. Phương trình: $t + \dfrac{t^2 - 8}{2} = 8$, $t^2 + 2t - 24 = 0$, $t = 4$ hoặc $t = -6$ (loại). $t = 4$: $\sqrt{(x + 1)(7 - x)} = 4$, $-x^2 + 6x + 7 = 16$, $(x - 3)^2 = 0$, $x = 3$. Thử: $2 + 2 + 4 = 8$. $S = \{3\}$.

$t \ge 1$ nên $t = 0{,}5$: $0$ nghiệm. $t = 1$: $x = 0$, một nghiệm. $t = 2$: $x^2 = 3$, hai nghiệm $\pm\sqrt3$.