Ứng dụng thực tế của bất phương trình bậc hai

Độ cao (mét) của một quả bóng sau $t$ giây là $h(t) = -5t^2 + 20t$. Hỏi quả bóng ở độ cao trên $15$ m trong bao nhiêu giây?

Giải. Bóng chạm đất khi $h = 0$, tức $t = 0$ hoặc $t = 4$, nên điều kiện thực tế $0 \le t \le 4$. Cần $-5t^2 + 20t > 15$, chia $-5$ (đổi chiều): $t^2 - 4t + 3 < 0$, nghiệm $1$, $3$, nên $1 < t < 3$. Khoảng này nằm trong $[0; 4]$. Bóng ở trên $15$ m trong $3 - 1 = 2$ giây (từ giây thứ $1$ đến giây thứ $3$). Độ cao lớn nhất tại $t = 2$ là $h(2) = 20$ m.

Một xưởng bán $x$ trăm sản phẩm thì lợi nhuận (triệu đồng) là $f(x) = -x^2 + 8x - 7$. Xưởng phải bán trong khoảng nào để có lãi? Lãi lớn nhất bao nhiêu?

Giải. Có lãi khi $f(x) > 0$: $x^2 - 8x + 7 < 0$, nghiệm $1$, $7$, nên $1 < x < 7$: bán từ hơn $100$ đến dưới $700$ sản phẩm. Đỉnh tại $x = -\dfrac{b}{2a} = 4$, $f(4) = -16 + 32 - 7 = 9$. Lãi lớn nhất $9$ triệu đồng khi bán $400$ sản phẩm.

Quãng đường phanh của một xe (mét) khi chạy với vận tốc $v$ (km/h) được ước lượng bởi $s(v) = 0{,}01v^2 + 0{,}2v$. Tại một đoạn đường, cách chướng ngại vật $15$ m người ta muốn xe dừng kịp. Vận tốc tối đa là bao nhiêu?

Giải. Cần $s(v) \le 15$: $0{,}01v^2 + 0{,}2v - 15 \le 0$, nhân $100$: $v^2 + 20v - 1500 \le 0$. $\Delta' = 100 + 1500 = 1600$, nghiệm $v = -10 \pm 40$, tức $v = 30$ hoặc $v = -50$. Bất phương trình đúng với $-50 \le v \le 30$. Vì $v \ge 0$ nên $0 \le v \le 30$. Vận tốc tối đa $30$ km/h.

Dùng $40$ m lưới rào ba cạnh của một mảnh vườn hình chữ nhật, cạnh thứ tư dựa vào bức tường. Gọi $x$ (m) là độ dài mỗi cạnh vuông góc với tường. Tìm $x$ để diện tích vườn không nhỏ hơn $150$ m$^2$.

Giải. Cạnh song song với tường dài $40 - 2x$ nên cần $0 < x < 20$. Diện tích $S = x(40 - 2x) = -2x^2 + 40x$. Yêu cầu $-2x^2 + 40x \ge 150$, chia $-2$: $x^2 - 20x + 75 \le 0$, nghiệm $5$, $15$, nên $5 \le x \le 15$. Giao với $(0; 20)$ vẫn là $[5; 15]$. Kiểm: $x = 5$ cho $5 \cdot 30 = 150$, $x = 15$ cho $15 \cdot 10 = 150$ (đúng). Diện tích lớn nhất tại $x = 10$ là $200$ m$^2$.

Một cổng vòm parabol có phương trình (đặt trục toạ độ ở mặt đất, gốc ở giữa cổng) $y = 4 - \dfrac{x^2}{9}$, đơn vị mét. Một xe tải cao $3$ m phải đi lọt qua cổng, hai bên mép xe cách đều trục giữa. Bề rộng tối đa của xe là bao nhiêu?

Giải. Xe đi lọt khi tại mỗi điểm trong bề rộng của xe, vòm cao ít nhất $3$ m. Tại mép xe có hoành độ $x$ cần $4 - \dfrac{x^2}{9} \ge 3$, tức $x^2 \le 9$, $\lvert x \rvert \le 3$. Vậy nửa bề rộng xe tối đa $3$ m, bề rộng tối đa $6$ m. (Lưu ý cổng cao $4$ m nên xe cao $3$ m ở giữa còn dư $1$ m, nhưng sát mép cổng thì thấp dần.)