Phương trình quy về bậc hai có tham số, biện luận số nghiệm

$t = \sqrt{x - 1} \ge 0$, $x = t^2 + 1$: $t = t^2 + 1 - m$, tức $t^2 - t + 1 - m = 0$. Cần $\Delta = 4m - 3 > 0$, $P = 1 - m \ge 0$, $S = 1 > 0$: $\dfrac34 < m \le 1$. Kiểm $m = 1$: $t \in \{0; 1\}$, $x \in \{1; 2\}$.

$t^2 - 6t + m = 0$ ($\Delta' = 9 - m$). $m > 9$: $0$ nghiệm. $m = 9$: $t = 3$, $2$ nghiệm. $0 < m < 9$: $4$ nghiệm. $m = 0$: $t \in \{0; 6\}$, $3$ nghiệm. $m < 0$: $2$ nghiệm.

Đỉnh $(2; -1)$, vòm lật cao $1$. $m < 0$: $0$. $m = 0$: $2$. $0 < m < 1$: $4$. $m = 1$: $3$ ($x = 2$ và $x = 2 \pm \sqrt2$). $m > 1$: $2$.

Theo Ví dụ 1 có nghiệm khi $m \le \dfrac94$ (0 nghiệm chỉ khi $m > \dfrac94$).

$t = 1$: $x = \pm1$, hai nghiệm. $t = 0$: $x = 0$, một nghiệm. $t = -1$: không có nghiệm thực.