Hàm số bậc hai và phép tịnh tiến parabol

Trong các hàm số sau, hàm nào là hàm số bậc hai? Nếu phải, nêu $a$, $b$, $c$.

a) $y = 3 - 2x^2$; b) $y = (x+1)^2 - x^2$; c) $y = x(x-2) + 5$; d) $y = \dfrac{1}{x^2+1}$.

Giải. a) $y = -2x^2 + 0\cdot x + 3$: là hàm bậc hai, $a = -2$, $b = 0$, $c = 3$. b) $y = x^2 + 2x + 1 - x^2 = 2x + 1$: các hạng tử $x^2$ triệt tiêu, $a = 0$, không phải hàm bậc hai (là hàm bậc nhất). c) $y = x^2 - 2x + 5$: là hàm bậc hai, $a = 1$, $b = -2$, $c = 5$. d) Không phải đa thức (biến $x$ nằm ở mẫu), không phải hàm bậc hai.

Lập bảng giá trị rồi nêu các tính chất của đồ thị $y = 2x^2$.

Giải. $x = -2, -1, 0, 1, 2$ cho $y = 8, 2, 0, 2, 8$. Đồ thị là parabol đỉnh $O$, trục đối xứng $Oy$, bề lõm hướng lên vì $a = 2 > 0$. Nó "nhọn" hơn $y = x^2$ vì $\lvert 2\rvert > 1$ (cùng $x = 2$ thì $y = 8$ so với $4$).

Cho hàm số $y = -(x+2)^2 + 3$. Tìm đỉnh, trục đối xứng, hướng bề lõm và giao điểm với hai trục tọa độ.

Giải. Viết $y = -(x-(-2))^2 + 3$: $a = -1$, $p = -2$, $q = 3$. Đỉnh $I(-2; 3)$, trục $x = -2$, bề lõm hướng xuống.

• Giao $Oy$: $x = 0$ cho $y = -4 + 3 = -1$, điểm $(0;-1)$.
• Giao $Ox$: $-(x+2)^2 + 3 = 0 \Leftrightarrow (x+2)^2 = 3 \Leftrightarrow x = -2 \pm \sqrt3$. Hai điểm $(-2-\sqrt3;0)$ và $(-2+\sqrt3;0)$.

(Hợp lý: đỉnh nằm trên $Ox$ và bề lõm xuống nên đồ thị phải cắt $Ox$ hai lần.)

Vẽ nhanh parabol $y = \tfrac12 (x-1)^2 - 2$ qua đỉnh, trục và giao điểm.

Giải. $a = \tfrac12$, đỉnh $I(1;-2)$, trục $x=1$, bề lõm lên.

• Giao $Oy$: $y = \tfrac12\cdot 1 - 2 = -\tfrac32$, điểm $(0; -\tfrac32)$; đối xứng qua $x=1$ cho $(2; -\tfrac32)$.
• Giao $Ox$: $(x-1)^2 = 4 \Leftrightarrow x = 3$ hoặc $x = -1$.

Parabol $y = 2x^2$ được tịnh tiến sang trái $3$ đơn vị rồi xuống dưới $5$ đơn vị. Viết công thức hàm số mới và tìm đỉnh.

Giải. Sang trái $3$ nghĩa là $p = -3$; xuống $5$ nghĩa là $q = -5$. Hàm số mới $y = 2(x+3)^2 - 5 = 2x^2 + 12x + 13.$ Đỉnh $I(-3;-5)$. Kiểm tra: đỉnh gốc $O(0;0)$ dịch thành $(0-3; 0-5) = (-3;-5)$.